Лекции по теории вероятностей / lect7

Лекция 7 Совместные распределения случайных величин.

Случайные векторы и их распределения.

Определение. Если на одном вероятностном пространстве заданы случайные величины X1, X2, ..., Xn, то функция

FX1,X2,...,Xn (u1, u2, ..., un) = p(X1 < u1, X2 < u2, ..., Xn < un)

называется функцией совместного распределения этих случайных величин. Определение. Вектор X = (X1, X2, ..., Xn) называется случайным векто-

ром, а функция FX1,X2,...,Xn (u1, u2, ..., un) = FX(u1, u2, ..., un) называется функцией распределения случайного вектора X.

Свойства функции совместного распределения.

Для простоты изложения все дальнейшие формулировки и обозначения приводятся для случайного вектора X = (X1, X2).

F1. 0 ≤ FX1,X2 (u1, u2) ≤ 1.

F2. Совместная функция распределения FX1,X2 (u1, u2) - неубывающая функция по каждой переменной.

F3. Для любого i = 1, 2 существует limui→−∞ F (u1, u2) = 0. F4. Для любого i = 1, 2 существует limui→∞ F (u1, u2). Ïðè ýòîì

lim F (u1, u2) = p(X1 < ∞, X2 < u2) = p(X2 < u2) = FX2 (u2),

u1→∞

lim F (u1, u2) = p(X1 < u1, X2 < ∞) = p(X1 < u1) = FX1 (u1).

u2→∞

Это свойство означает, что зная функцию распределения вектора можно найти функции распределения каждой из координат.

F5. Функция FX1,X2 (u1, u2) по каждой переменной непрерывна слева. Доказательство всех этих свойств совершенно аналогично доказательству по-

добных свойств функции распределения в одномерном случае.

Сейчас мы покажем как по совместной функции распределения случайного вектора вычислить вероятность того, что этот случайный вектор попадет в прямоугольник [a1, a2) × [b1, b2).

Лемма. Для любых a1 < a2, b1 < b2

p(a1 ≤ X1 < a2, b1 ≤ X2 < b2) = F (a2, b2) − F (a2, b1) − F (a1, b2) + F (a1, b1).

Доказательство. Обозначим через

D = {ω : a1 ≤ X1(ω) < a2, b1 ≤ X2(ω) < b2},

B = {ω : X1(ω) < a1, X2(ω) < b2},

C = {ω : X1(ω) < a2, X2(ω) < b1}.

Тогда справедливо равенство

{ω : X1(ω) < a2, X2(ω) < b2} = D + B + C.

1

По формуле сложения вероятностей получаем

p({ω : X1(ω) < a2, X2(ω) < b2}) = P (D + B + C) =

= P (D) + p(B) + p(C) − p(DB) − p(DC) − p(BC) + p(DBC).

Так как множества DB, DC, DBC - пусты, а

BC = {ω : X1(ω) < a1, X2(ω) < b1},

то из этого равенства следует, что

F (a2, b2) = P (ω : a1 ≤ X1(ω) < a2, b1 ≤ X2(ω) < b2)+F (a1, b2)+F (a2, b1)−F (a1, b1).

А это и означает, что

p(ω : a1 ≤ X1(ω) < a2, b1 ≤ X2(ω) < b2) = F (a2, b2)−F (a1, b2)−F (a2, b1)+F (a1, b1).

Пример функции от двух переменных, для которой выполнены свойства F1-F5, но которая не является совместной функцией распределения случайного вектора.

(

F (u1, u2) =

0, u1 ≤ 0 èëè u2 ≤ 0 èëè u1 + u2 ≤ 1 1, u1 > 0, u2 > 0, u1 + u2 > 1

( Если бы существовал вектор (X1, X2) с указанной выше функцией распределения, то для этого вектора вероятность попасть в прямоугольник [1/2, 2) Ч [0, 1)

была бы отрицательной.)

Дискретные совместные распределения.

Случайный вектор (X1, X2) имеет дискретное распределение, если существует не более, чем счетное число векторов (ak, bl), k = 1, 2, ..., l = 1, 2, ... таких, что

p(X1 = ak, X2 = bl) = pk,l

è

X

pk,l = 1.

k,l

Для любого множества B R2 вероятность попасть в это множество для слу- чайного вектора (X1, X2) вычисляется по формуле

Совместная функция распределения двух случайных величин X1, X2 (функция распределения вектора (X1, X2)) - это вероятность попадания вектора в множество {ω : X1(ω) < u1, X2 < u2}. Поэтому совместная функция распределения этих двух случайных величин равна

<u ,b <u

2

Дискретное распределение пары случайных величин можно задавать с помощью таблицы, которая называется таблицей распределения.

Пример. Пусть случайный вектор может попасть с положительной вероятностью лишь в одну из четырех точек

p((X1, X2) = (0, 0)) = 1/2, p((X1, X2) = (1, 0)) = 1/6,

p((X1, X2) = (−1, 0)) = 1/6, p((X1, X2) = (−1, 1)) = 1/6.

Тогда значение совместной функции распределения в точке (1/2,2) равно F (1/2, 2) = 5/6.

Таблица распределения в этом случае выглядит следующим образом.

По таблицам совместного распределения можно вычислить распределение каждой из компонент случайного вектора. А именно,

XX

Замечание. У разных совместных распределений могут быть одинаковые распределения каждой из компонент. Рассмотрим два случайных вектора X = (X1, X2) è Y = (Y1, Y2), распределение которых задается таблицами

Как легко видеть, у этих двух векторов при различных совместных распределениях, распределение каждой из координат одинаковы.

3

Условные распределения.

Зная таблицу распределения случайного вектора (X1, X2) можно вычислить условное распределение одной координаты этого вектора при известном значе- нии другой координаты. Например, распределение X1 при условии, что X2 = bl, задается таблицей

В этой таблице

pk,l

pk/l = p(X1 = ak/X2 = bl) = P .

j pk,j

Абсолютно - непрерывные совместные распределения.

Определение. Cлучайный вектор (X1, X2) имеет абсолютно - непрерывное распределение, если существует функция f(v1, v2) ≥ 0, такая, что для любой области B R2 c гладкой (квадрируемой) границей

Z Z

p((X1, X2) B) = f(v1, v2)dv1dv2.

B

Функция f(v1, v2) называется совместной плотностью распределения случайных величин X1, X2.

Свойства совместной плотности распределения.

1.f(v1, v2) ≥ 0.

2.R−∞∞ R−∞∞ f(v1, v2)dv1dv2 = p(−∞ < X1 < ∞, −∞ < X2 < ∞) = 1.

3.Совместная функция распределения выражается как интеграл от плотно-

ñòè

4. Если плотность совместного распределения f(v1, v2) случайных величин X1, X2 непрерывна в точке (v1, v2) и если в этой точке существует вторая смешанная производная функции распределения F (u1, u2) этих случайных величин, то

∂2F (u1, u2)

f(v1, v2) = ∂u1∂u2 |u1=v1,u2=v2 .

5. Из определения плотности и из всех предыдущих свойств этой плотности следует, что

6. Если случайный вектор (X1, X2) имеет совместную плотность распределения f(v1, v2), то каждая из координат этого вектора имеет непрерывное распре-

деление. При этом плотность распределения каждой из координат вычисляется следуюшим образом:

Z ∞

fX1 (v1) = f(v1, v2)dv2,

−∞

4

Z ∞

fX2 (v2) = f(v1, v2)dv1.

−∞

Действительно, рассмотрим функцию распределения случайной величины

X1

Z u1 Z ∞

FX1 (u1) = p(X1 < u1) = f(v1, v2)dv2dv1.

−∞ −∞

Обозначим теперь

Z ∞

fX1 (v1) = f(v1, v2)dv2.

−∞

Тогда функция распределения случайной величины X1

Z u1

FX1 (u1) = fX1 (v1)dv1.

−∞

Из определения абсолютно - непрерывных распределений следует, что случайная величина X1 имеет абсолютно - непрерывное распределение и функция fX1 (u) - плотность этого распределения.

Аналогично доказывается и вторая формула для плотности распределения случайной величины X2.

Двумерное нормальное распределение.

Двумерный случайный вектор X = (X1, X2) имеет нормальное распределение с параметрами a1, a2, σ1, σ2, ρ, если его плотность распределения

Параметры a1, a2 могут принимать любое действительное значение, параметры

σ1 > 0, σ2 > 0, а параметр |ρ| < 1.

Если вектор X = (X1, X2) имеет нормальное распределение с параметрами a1, a2, σ1, σ2, ρ, то координаты X1 è X2 также имеют нормальное распределение. При этом X1 имеет нормальное распределение с параметрами a1, σ1, à X2 - íîð- мальное распределение с параметрами a2, σ2. Чтобы убедиться в этом достаточно вычислить плотности

5

Условные плотности распределения.

Вычислим

Определение. Функция f(v1/v2) = f(v1, v2)/fX2 (v2) называется условной плотностью распределения случайной величины X1 при условии, что X2 = v2.

Пример. Пусть X1, X2 имеют двумерное нормальное распределение c параметрами a1, a2, σ1, σ2, ρ. C помощью несложных вычислений можно показать, что условная плотность распределения X1, при условии, что X2 = v2 является плот- ностью нормального распределения, в котором параметр a = a1 + (ρσ1/σ2)(v2 −

p

a2), а параметр σ = σ1 1 − ρ2.

Независимость случайных величин.

Определение. Случайные величины X1, X2 называются независимыми, ес- ли для любых a1 < a2, b1 < b2

p(a1 < X1 < a2, b1 < X2 < b2) = p(a1 < X1 < a2)p(b1 < X2 < b2).

Замечание. Из определения независимости следует, в частности, что для любых борелевских множеств на прямой B1, B2 случайные события {ω : X1(ω)

B1}, {ω : X2(ω) B2} являются независимыми

p(ω : X1(ω) B1, X2(ω) B2) = p(ω : X1(ω) B1)p(ω : X2(ω) B2).

Независимость случайных величин означает, что сведения о значениях одной случайной величины не влияют на распределение вероятностей другой случайной величины. Действительно, из определения независимости следует, что

p(a1 < X1 < a2/b1 < X2 < b2) = p(a1 < X1 < a2).

Например, пусть X1 - выигрыш по лотерейному билету в одной лотерее, X2 - âû-

игрыш по лотерейному билету другой лотереи. Тогда, если по одному билету был получен какой-то выигрыш, то эти дополнительные сведения никак не влияют на распределение выигрыша по второму лотерейному билету. Случайные величины X1, X2 - независимы.

Если имеются два билета одной лотереи и Y1, Y2 выигрыши по первому и по второму билету соответственно. Тогда случайные величины Y1, Y2 зависимы.

Распределение выигрыша по одному из билетов меняется, если известно, какой выигрыш пришелся на другой билет.

6

Теорема. Случайные величины X1, X2 независимы тогда и только тогда, когда совместная функция распределения этих случайных величин распадается на произведение функций распределения случайных величин X1 è X2 :

F (u1, u2) = FX1 (u1)FX2 (u2).

Доказательство.Необходимость утверждения теоремы следует из определения независимости случайных величин. Если случайные величины X1, X2 íåçà- висимы, то очевидно, что

p(X1 < u1, X2 < u2) = p(X1 < u1)p(X2 < u2).

Это равенство и означает,что совместная функция распределения равна произведению функций распределения случайных величин X1, X2.

Пусть теперь при всех u1, u2

F (u1, u2) = FX1 (u1)FX2 (u2).

Тогда для любых a1 < a2, b1 < b2

p(a1 ≤ X1 < a2, b1 ≤ X2 < b2) = F (a2, b2) − F (a1, b2) − F (a2, b1) + F (a1, b1) = = (FX1 (a2) − FX1 (a1))(FX2 (b2) − FX2 (b1)) = p(a1 ≤ X1 < a2)p(b1 ≤ X2 < b2).

7