12. Распределение Вейбулла

Опыт эксплуатации очень многих электронных приборов и значительного количества электромеханической аппаратуры показывает, что для них характерны три вида зависимостей интенсивности отказов от времени (рис. 3.1), соответствующих трем периодам жизни этих устройств [3, 8, 10, 19].

Нетрудно увидеть, что этот рисунок аналогичен рис. 2.3, так как график функции  (t) соответствует закону Вейбулла. Указанные три вида зависимостей интенсивности отказов от времени можно получить, используя для вероятностного описания случайной наработки до отказа двухпараметрическое распределение Вейбулла [12, 13, 15]. Согласно этому распределению плотность вероятности момента отказа

, (3.1)

где  - параметр формы (определяется подбором в результате обработки экспериментальных данных,  > 0);  - параметр масштаба,

.

Интенсивность отказов определяется по выражению

(3.2)

Вероятность безотказной работы

, (3.3)

а средняя наработки до отказа

. (3.4)

Отметим, что при параметре = 1 распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное, а при = 2 - в распределение Рэлея.

При 1 интенсивность отказов монотонно убывает (период приработки), а при  монотонно возрастает (период износа), см. рис. 3.1. Следовательно, путем подбора параметра  можно получить, на каждом из трех участков, такую теоретическую кривую  (t), которая достаточно близко совпадает с экспериментальной кривой, и тогда расчет требуемых показателей надежности можно производить на основе известной закономерности.

Распределение Вейбулла достаточно близко подходит для ряда механических объектов (к примеру, шарикоподшипников), оно может быть использовано при ускоренных испытаниях объектов в форсированном режиме [12].

13. Нормальное и усеченное нормальное распределение.

Модель с нормальным распределением.

Наработка до отказа имеет нормальное распределение с плотностью 

, 

где m и  >0 - параметры распределения.

Нормальное распределение не совсем подходит для задач теории надежности, так как случайная величина с нормальным распределением может принимать любые значения от   до  , а наработка до отказа - положительная величина.

Поэтому вместо нормального в теории надежности часто используют усеченное нормальное распределение, имеющее плотность

где m>0, а c>1 - нормирующий множитель, выбираемый из условия  .

Усеченное нормальное распределение обычно применяют, если m<3 . В противном случае с 1,0015  и использование неусеченного нормального распределения дает достаточную точность.

     

Можно доказать, что в данной модели интенсивность монотонно возрастает и при больших t начинает приближаться к асимптоте   (см. рис. 2.5.).  

15

Статистическое оценивание показателей надежности.

Показатели надежности оцениваются по результатам испытаний совокупности объектов.

Планом испытаний называют правила, устанавливающие количество исследуемых объектов, порядок проведения испытаний и критерии их прекращения.

Наименование плана принято обозначать тремя параметрами. Первый параметр указывает число испытываемых объектов (N), второй - наличие (В) или отсутствие (Б) восстановлений на время испытаний в случае отказа объекта, третий - условия прекращения испытаний.

Чаще всего применяются следующие планы испытаний:

[N,Б,Т] - в течении времени Т без восстановления испытываются N объектов;

[N,Б,r] - испытания N объектов проводятся без восстановления до того момента, пока не случится r отказов. При r=N получаем план [N,Б,N] - испытания проводятся, пока не  откажут все объекты;

[N,Б,(r,T)] - испытания прекращаются либо после r отказов, либо после времени Т (в зависимости от того, что наступит раньше);

[N,B,T], [N,B,r], [N,B,(r,T)] - планы испытаний, в которых производится восстановление отказавших объектов.

Рассмотрим наиболее распространенный план испытаний [N,Б,N]. Введем функцию n(t) - число объектов, отказавших за время t.  Тогда оценка функции отказа

                                     .

Оценка функции надежности

                                .

Для оценки интенсивности введем малое значение  . Тогда оценка частоты отказов

.

Оценка интенсивности отказов

.

Рассмотрим моменты  , i=1,2,...,N отказов каждого объекта. Тогда оценка средней наработки

                                              .

Пусть известно, что наработка до отказа имеет показательное распределение. Тогда постоянную интенсивность   оцениваем по формуле

.