Доказательство утверждения 1.2.1.

Пусть – решение задачи Лагранжа, т.е.

(1.2.2)
(1.2.3)

Равенство

(1.2.4)

является тождеством по , поэтому

(1.2.5)

Имеем

Утверждение 1.2.1 доказано.

Отметим, что , тогда на основании (1.2.1) имеем

т.е. производная глобального максимума функции полезности по параметру равна

Утверждение 1.2.1 позволяет оценить новый функции полезности, который получается при относительно малом изменении дохода (при этом новую задачу на условный максимум

решать не следует):

, откуда

т.е.

что важно с теоретической и практической точек зрения.

Функция косвенной полезности по определению есть

т.е. функция косвенной полезности – это функция параметров Задачи I на условный экстремум (см. в параграфе 1.1 Задачу (1.1.1) – (1.1.2)). Утверждение 1.2.1 – это утверждение о том, что частная производная условного максимума целевой функции по параметру равна

В приведённых ниже Утверждениях 1.2.2, 1.4.1, 1.4.2 также фигурируют частные производные условного максимума функции и условного максимума функции по параметрам

Теоремы о частных производных экстремальных значений целевых функций различных экстремальных задач по параметрам этих задач называются теоремами об огибающих. Приведённое здесь Утверждение 1.2.1, и приводимые далее утверждения 1.2.2, 1.4.1 и 1.4.2 представляют собой частные версии теорем об огибающих в случае, когда специальное ограничение или целевая функция являются линейными по переменным экстремальной задачи.

Утверждение 1.2.2. (тождество Роя)

(1.2.6)
(1.2.7)

Мерой изменения значения функции косвенной полезности в связи с изменением цены является произведение

Доказательство утверждения 1.2.2.

Пусть решение задачи Лагранжа, т.е.

Из тождества (1.2.4) следует, что

(1.2.8)

аналогично

(1.2.9)

Имеем

Аналогично

Отметим, что (см. (1.2.1)).

Утверждение 1.2.2 доказано.

Поскольку постольку имеем т.е. производная функции полезности по параметру равна

Утверждение 1.2.2 позволяет оценить новый функции полезности, который получается при относительно малом изменении цены (при этом новую задачу на условный максимум

решать не следует):

откуда

т.е.

что важно с теоретической и практической точек зрения.

Утверждения 1.2.1 и 1.2.2 при имеют вид

1.3 Решение задачи минимизации расхода потребителя при фиксированном уровне полезности методом Лагранжа. Функции спроса по Хиксу (функции компенсированного спроса), функция расходов и их свойства.

Решим задачу (1.1.3), (1.1.4) (см. параграф 1.1) методом Лагранжа:

Функция Лагранжа задачи (1.1.3), (1.1.4) имеет вид

(1.3.1)
Выписываем условия первого порядка для функция Лагранжа
т.е.
(1.3.2)
(1.3.3)
(1.3.4)

Получим систему трёх уравнений (1.3.2), (1.3.3), (1.3.4) с тремя неизвестными Решение системы (1.3.2), (1.3.3), (1.3.4) называется критической точкой функции Лагранжа (1). Критическая точка называется длинной точкой. Критическая точка без последней координаты т.е. называется короткой точкой.

Если функция полезности, то система (1.3.2), (1.3.3), (1.3.4) имеет единственное решение и точка есть точка глобального минимума задачи ((1.1.3), (1.1.4) см. параграф 1.1). Имеем ситуацию, аналогичную задаче (1.1.1), (1.1.2) (см. параграф 1.1).

Функции

(1.3.5)
(1.3.6)

называются функциями спроса по Хиксу (функциями компенсированного спроса) на первый и второй продукты со стороны потребителя. Очевидно

Функции спроса , по Хиксу подставляем в целевую функцию и получим функцию , которая называется функцией расходов. Она зависит от и явно не зависит от потребительского набора.

Функция спроса однородная нулевой степени по переменным и т.е. для любого числа

Для доказательства перепишем задачу (1.1.3), (1.1.4) (см. параграф 1.1) следующим образом (число

(1.3.7)
(1.3.8)

Задачи (1.3.7), (1.3.8) и (1.1.3), (1.1.4) (см. параграф 1.1) одинаковые и имеют одно и то же решение Задача (1.1.3), (1.1.4) (см параграф 1.1) имеет ответ (1.3.5), (1.3.6) и Задача (1.3.7), (1.3.8) имеет ответ и Следовательно,

(1.3.9)
(1.3.10)
(1.3.11)

т.е. функция спроса (а также однородны нулевой степени по переменным и

Свойства функции расходов.

1. Функция расходов однородна первой степени по переменным и

Имеем

(1.3.12)

2. Если

Доказательства следуют из утверждений 1.4.1 и 1.4.2 параграфа 1.4.

3. Ф ункция расходов выпуклая вверх по переменным и (см. Рис. 1.5):

для любого числа и любых векторов

4. функция спроса по Хиксу и функция расходов непрерывны.

Доказательство свойства 4) является необязательным и поэтому не приводится.

Докажем свойство 3).

Число удовлетворяет неравенствам векторы Имеем при условии, что Аналогично при условии, что Положим Имеем при условии, что

Имеем следующую цепочку равенств и неравенств

откуда следует, что функция расходов выпукла вверх по переменным и

Свойство 3 доказано.

При функции спроса по Хиксу имеют вид

1.4 Предельный расход по полезности и предельный расход по цене продукта (лемма Шепарда). Значение этих выражений для решения теоретических и прикладных задач потребительского выбора.

Утверждение 1.4.1. (о предельном расходе по полезности)

(1.4.1)

Предельный расход по полезности равен множителю Лагранжа.

Доказательство утверждения 1.4.1

Пусть решение задачи (1.1.3), (1.1.4) на условный экстремум, тогда имеем тождества по

(1.4.2)
(1.4.3)

Равенство

(1.4.4)

является тождеством по поэтому

(1.4.5)

Имеем

Утверждение 1.4.1 доказано.

Отметим, что тогда на основании (1.4.1) имеем т.е. производная (глобального) минимального расхода по полезности равна множителю Лагранжа

Утверждение 1.4.1 позволяет оценить новый расхода, который получается при относительно малом изменении уровня полезности (при этом новую задачу на условный минимум

решать не следует):

откуда следует, что

т.е.

что важно с теоретической и прикладной точек зрения.

Утверждение 1.4.2. (лемма Шепарда)

(1.4.6)
(1.4.7)