Глава 1 Теория поведения потребителя на рынке

1.1 Решение задачи максимизации функции полезности при бюджетном ограничении методом Лагранжа. Локальное рыночное равновесие потребителя. Функция спроса по Маршаллу (по Вальрасу), функция косвенной полезности и её свойства.

Т еория потребления изучает поведение потребителя на рынке. Потребитель характеризуется функцией полезности и доходом, который он готов потратить на приобретение продуктов. Рынок характеризуется потребительскими наборами и ценами (ценой на единицу каждого продукта). Все величины имеют одну и ту же временную «привязку». Они постоянны в течение некоторого фиксированного периода времени (само время предполагается дискретным).

Потребитель ведёт себя рационально, если он максимизирует функцию полезности при бюджетном ограничении. Поведение потребителя может быть описано в вербальной форме: максимизация полезности, если хватит содержимого кошелька, в виде задачи на условный максимум (Задача I) в аналитической форме:

(1.1.1)
(1.1.2)	,

в геометрической форме (см. Рис. 1.1).

Отметим, что здесь и далее под максимумом понимается глобальный максимум, если нет специальной оговорки.

Рассмотрим линии безразличия (например, линии которые имеют общие точки с бюджетной прямой. Двигаясь по линиям безразличия на «северо-восток» до упора, выбираем линию безразличия которая имеет с бюджетной прямой точку касания Это означает, что потребитель выбирает потребительский набор , который называется локальным рыночным равновесием потребителя (ЛРРП). При этом его функция полезности достигает своего условного максимума Рис. 1.1 чётко демонстрирует, что где любая точка бюджетной прямой отличная от точки Картина взаимного расположения линий безразличия и бюджетной прямой, представленная на Рис. 1.1, типична для задач экономической теории. Представленная на Рис. 1.1 линии безразличия являются строго выпуклыми к точке В частности, если линия безразличия строго выпукла, то точка её касания с бюджетной прямой является единственной. Если линия безразличия выпукла, но не строго выпукла к точке точка касания может быть неединственной.

Потребитель достиг определённого уровня полезности Как выйти на этот уровень полезности с наименьшими расходами? (Вербальная форма задачи минимизации расхода при фиксированном уровне полезности). Аналитическая форма задачи минимизации расхода потребителя при фиксированном уровне полезности имеет вид задачи на условный минимум (Задача II):

(1.1.3)	,
(1.1.4)	,

Геометрическая форма задачи минимизации расхода потребителя при фиксированном уровне полезности представлена на Рис. 1.2. Отметим, что здесь и далее по минимумом понимается глобальный минимум, если нет специальной оговорки.

По бюджетным линиями следует идти на «юго-запад» до упора. Упор будет в точке касания бюджетной прямой и линии безразличия .

Задачи I и II называют совместными. Их можно обобщить в виде Задач Ia и IIа:

(1.1.5)
(1.1.6)	,
(1.1.7)

(1.1.8)
(1.1.9)
(1.1.10)

Формально Задачи Ia и IIa – это задачи математического программирования. Задачи I и II, как уже отмечалось, – это задачи на условный экстремум.

Задачи I и Ia, II и IIa разные, но ответы у них одинаковые.

Для задачи (1.1.1), (1.1.2) на условный экстремум функция Лагранжа имеет вид

Выпишем условия первого порядка локального экстремума функции (1.1.1) при наличии ограничения (1.1.2):

т.е.

(1.1.11)

Получили систему (1.1.11) из трёх уравнений с тремя неизвестными Решение системы (1.1.11) называется критической точкой функции Лагранжа

(1.1.12)

Критическая точка называется длинной точкой. Критическая точка без последней координаты т.е. называется короткой точкой. Точки локального условного экстремума задачи (1.1.1), (1.1.2) следует искать только среди коротких точек в которых локальный условный экстремум может быть, а может его и не быть. В связи с тем, что функция полезности – это функция, которая обладает рядом специальных свойств

у системы (1.1.11) существует обязательно единственное решение то есть существует только одна критическая точка функции Лагранжа, следовательно, только одна короткая точка и эта точка – не только точка локального, а также глобального максимума функции (1.1.1) при наличии ограничения (1.1.2). Это можно доказать с помощью условий второго порядка локального экстремума функции (1.1.1) при наличии ограничения (1.1.2) и с использованием условия строгой выпуклости вверх функции (1.1.1).

Функции

(1.1.3)
(1.1.4)

называются функциями по Маршаллу (по Вальрасу) на первый и второй продукты со стороны потребителя. Очевидно, что

Функция называется функцией косвенной полезности при фиксированных параметрах ; выражение – есть максимум функции полезности.

Функции спроса однородны нулевой степени по всем переменным, т.е. для любого числа

Для доказательства перепишем задачу (1.1.1), (1.1.2) следующим образом

(1.1.1)	,
(1.1.5)

Задачи (1.1.1), (1.1.2) и (1.1.1), (1.1.15) одинаковы и имеют одно и то же решение Задача (1.1.1), (1.1.2) имеет ответ (1.1.13), (1.1.14) и а задача (1.1.1), (1.1.5) имеет ответ ,

Следовательно,

(1.1.16)
(1.1.17)
(1.1.18)

т.е. функции спроса (а также ) однородные нулевой степени по всем переменным

Свойства функции косвенной полезности

1. Функция косвенной полезности является однородной функцией нулевой степени по всем переменным

2. (См. Рис. 1.3) символ возрастания, символ строго возрастания).

Если то ибо бюджетная прямая расположена северо-восточнее бюджетной прямой и следовательно, линия безразличия расположена северо-восточнее линии безразличия , откуда вытекает неравенство (См. Рис. 1.3). Строгое доказательство следует из утверждения 1.2.1 параграфа 1.2.

3. (см. Рис. 1.4), Если то символ убывания, символ строгого убывания).

Строгое доказательство следует из утверждения 1.2.2 параграфа 1.2.

4. Рассмотрим множество , которое обладает следующим свойством: Если множество не пусто, то оно выпукло.

5. Если , то функция косвенной полезности непрерывная по всем переменным Доказательства свойств 4), 5) необязательны и поэтому не приводятся.

Всё построение этого и остальных параграфов главы 2 естественным образом переносится на случай произвольного В частности, Задача I и Задача II имеют следующие формулировки:

Задача I

Задача II

Функции спроса по Маршаллу (Вальрасу) имеют вид

1.2 Предельная полезность по доходу и предельная полезность по цене продукта (тождество Роя). Значение этих выражений для решения теоретических и прикладных задач потребительского поведения на рынке.

Утверждение 1.2.1. (о предельной полезности по доходу)

(1.2.1)

Предельная полезность по доходу равна множителю Лагранжа.