Моделирование дискретных распределений

Моделирование конкретного распределения можно производить различными способами. Если распределение дискретно, то можно использовать, например, следующий прием.

Пусть - разбиение отрезка, тогда последовательность

является последовательностью независимых дискретных случайных величин, принимающих значения с вероятностями.

Например, для моделирования распределения достаточно разбить отрезокна две части длинойи, соответственно. Для моделирования распределенияприменять предложенный метод нерационально, так как придется вычислять вероятности вида

.

Гораздо проще для моделированиясложитьсмоделированных величин. Заметим, что для моделирования одной величиныв этом случае потребуетсячленов последовательности

Моделирование непрерывных распределений

Моделирование конкретного распределения можно производить различными способами. Если распределение непрерывно, то можно использовать, например, следующий прием.

Пусть - непрерывная функция распределения, тогда последовательность

является последовательностью независимых случайных величин, принимающих значения с функцией распределения.

Для доказательства достаточно вычислить функцию распределения случайной величины .

Например, для моделирования распределения достаточно положить

Для моделирования распределенияприменять предложенный метод нерационально, так как придется вычислять обратную функцию к функции вида.

Гораздо проще для моделированиясложитьсмоделированных величин. Заметим, что для моделирования одной величиныв этом случае потребуетсячленов последовательности

Моделирование нормального распределения.

Для моделирования стандартного нормального распределения можно использовать следующее утверждение.

Утверждение.

Случайные величины

независимы и стандартно нормально распределены.

Доказательство этого утверждения представляет собой упражнение из математического анализа на замену переменных в двумерном интеграле (переход к полярным координатам).

Теория оценивания

В данном и следующих разделах по умолчанию предполагается существование необходимого числа моментов у случайных величин.

Если в утверждениях появляется параметр , то это означает, что рассматривается выборка размера.

Определение оценки и критерии качества оценок

Определение.

Статистика называется оценкой параметра, если она принимает свои значения в параметрическом множестве.

Разумными требованиями к оценкам являются

1. Несмещенность

2. Состоятельность

3. Минимальность дисперсии

Общие методы построения оценок

Идеальная или оптимальная оценка должна удовлетворять всем требованиям 1)-3). Однако нет гарантии, что такая оценка существует. Поэтому интересными являются также методы, позволяющие строить оценки, удовлетворяющие, например, требованию 2) или требованиям 2) и 1)

Метод подстановки и метод моментов

Метод подстановки заключается в использовании идеи подстановки и применяется в случае, когда данные представляют собой выборку. Пусть существуют такие измеримые функции и, что

тогда оценкой по методу постановки называется величина

Теорема.

Если функция линейна, то оценка по методу подстановки несмещена и состоятельна, если непрерывна, то состоятельна.

Метод моментов.

Суть метода моментов заключается в следующем. Очевидно, выборочные среднее и дисперсия являются несмещенными оценками своих математических ожиданий, являющихся в параметрическом случае некоторыми функциями от параметра.

Если функции и непрерывны и монотонны, то существуют обратные к ним функции и, применяя метод подстановки, получим оценки

Очевидно, что подобным образом можно использовать другие выборочные характеристики.