1. С лучайные процессы

Функция X(t) называется случайной, если при каждом значении аргумента t = t* X(t*) является случайной величиной (СВ). Если аргументом t является время, то X(t) называют случайным процессом.

Функция , полученная в результате одного (i - го) опыта , обозначается x_i(t) и называется i – й реализацией случайного процесса X(t).

Случайный процесс можно рассматривать либо как совокупность случайных величин,

зависящих от параметра t , либо как ансамбль реализаций.

X(t) - случайный процесс (СП)

x(t) - реализация СП

x (t) x⁽¹⁾(t) x⁽²⁾(t)

t

t^* t^**

x_t* x_t**

X_t*- СВ, соответствующая сечению t*.

1. Классификация сп

Случайные процессы

Дискретные сп Непрерывные сп

а) непрерывные по времени а) непрерывные по времени

б) дискретные по времени б) дискретные по времени

2. Характеристики сп

1.2.1. Математическое ожидание (мо) сп

М атематическим ожиданием случайного процесса X(t) называется неслучайная функция времени m_x(t), которая при каждом значении аргумента t=t равна математическому ожиданию СВ X(t), соответствующей этому сечению процесса X(t).

(если X(t) – непрерывный СП)

f_x( ,t) – одномерная плотность распределения X(t).

2. Корреляционная функция сп

Корреляционной функцией случайного процесса X(t) называется неслучайная функция R_x(t,t) двух переменных t и t, значение которой при всяких t и t равно ковариации случайных величин

и , соответствующих этим сечениям процесса X(t).

, где X(t) – непрерывный СП;

- двумерная плотность распределения случайного процесса X(t).

Автокорреляционная функция – сечения относятся к одному СП . Автокорреляционная функция характеризует степень линейной связи СВ, соответствующим двум сечениям СП. Если X_t и X_t независимы, то

Для автокорреляционной функции справедливо R_X(t,t) = R_X(t,t).

Взаимно корреляционная функция – берутся сечения двух разных СП: X(t) и Y(t).

2. Дисперсия СП

Дисперсией случайного процесса X(t) называется неслучайная функция времени D_x(t), которая при каждом значении аргумента t равна дисперсии случайной величины X_t , соответствующей этому сечению процесса X(t):

2. Преобразования СП

Центрированный СП:

Это процесс получаемый путем вычитания из СП его МО :

= X(t) – m_X(t) M( ) = 0

Нормированный СП:

M( )=0

D( )=1

1. Добавление неслучайной функции

Дано: X(t), m_X(t), R_X(t,t)

, - неслучайная (детерминированная) функция времени

Определить: m_Y(t)-? ,R_Y(t,t)-?

= m_X(t)+

R_Y(t,t)=

2. Умножение на неслучайную величину

Дано: X(t), m_X(t), R_X(t,t)

Определить: m_Y(t)-? ,R_Y(t,t)-?

Доказательство:

В частности, если то и