4 шпоргалки по Терверу / шпоры по терверу4

Теорема Чебышёва: Пусть ξ1, ξ2... есть последовательность попарно-независимых св, имеющих равномерноограниченные дисперсии, т.е. существует const C<∞, такая, что Dξ_n<=C. Тогда для последовательности выполняется ЗБЧ (1).

Доказательство:

Теорема Маркава: Для произвольной последовательности св ξ1, ξ2… выполняется ЗБЧ, если выполняется условие Маркава: . Доказательство смотри выше, в теореме Чебышёва.

Теорема Хинчина: Пусть св ξ1, ξ2… есть последовательность независимых одинакого распределённых св, у которых существует Mξ_i=a. Тогда для любого ε>0:

Доказательство аналогично!

Во всех теоремах выше речь идёт о сходимости по вероятности. В любой задаче на применение ЗБЧ надо:

1. Вычислить математическое ожидание. Если математического ожидания ξn не существует, значит не надо ничего решать!

2. Если Mξn существует и величины независимы и одинакого распределены, то ЗБЧ выполняется в форме Хинчина.

3. Если св равнораспределённые и попарно независимые, надо найти Dξn. И если существует const, т.е. они равномерно ограничены, то ЗБЧ применим в форме Чебышёва.

4. Условие Маркава.

Центральная предельная теорема: Говорят в последовательности св ξ1, ξ2... применима ЦПТ, если существуют такие последовательности чисел и

, то для св выполняется предельное соотношение:

.

ЦПТ – это совокупность теорем, устанавливающая условия, при которых для последовательности св выполняется условие (*).

Теорема Леви: Пусть ξ1, ξ2... есть последовательность независимых одинакого распределённых св, обозначим Мξ_i=а<∞, Dξi=σ²<∞, тогда

.

Все формулы напечатаны с

помощью .

LordCamel.

lordcamel.narod.ru

Russia, Moscow 2004.

Примеры решения задач.

Брошено две кости. Найти вероятность того, что на первой кости будет чётное число (А1), на второй кости будет чётное число (А2), сумма выпавших чисел чётная (а3).

А1 и А2 – независимые. P(A1A3)=P(A1A2)=1/4=P(A1)P(A3),P(A2A3)=P(A1A2)=1/4, P(A1A2A3)≠P(A1)P(A2)P(A3)- события А1 А2 А3 зависимы в совокупности.

В цехе 3 станка изготавливают одни и те же детали. Первый – 15% всей продукции с браком 0,02, второй – 40% с браком 0,015, третий – 45% с браком 0,01.

1.) Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется браком.

2.) Наудачу взятая деталь оказалась браком. На каком станке вероятнее всего она была сделана?

А={наудачу взятая деталь – брак}.

Hi={деталь была сделана на i-м станке}, i=1,2,3.

P(H1)=0.15, P(H2)=0.4, P(H3)=0.45.

P(A/H1)=0.02, P(A/H2)=0.015, P(A/H3)=0.01.

P(A)=0.15·0.02+0.4·0.015+0.45·0.01=0.0135

P(H1/A)=0.15·0.02/0.0135, P(H2/A)=0.4·0.015/0.0135, P(H3/A)=0.45·0.01/0.0135

Произведено 10 выстрелов, p=0,9 (попадания). Найти вероятность следующих событий:

А.) Есть хотя бы одно попадание.

нет попаданий,

Б.) Имеется 4 попадания.

1-р=q – вероятность неудачи

P(B)=C⁴₁₀(0.9)⁴(0.1)⁶

В.) Имеется не более 2х попаданий.

P(C)=(0.1)¹⁰+10·0.9·(0.1)⁹+C²₁₀(0.9)²·(0.1)⁸

Г.) Имеется чётное число попаданий.

LordCamel шпоры страница 7

Пусть по N ячейакм случайно размещается r различимых частиц. СВ μ₀ – число пустых ячеек. Найдём Мμ₀. Представим Мμ₀ в виде суммы св, т.е. μ₀=ξ1+ξ2+ξ3...+ξn. Где

для любого j=1…N

По каналу связи с вероятностями, равными соответсвтенно 0,15; 0,45; 0,4 передаётся одна из последовательностей букв АААА или ВВВВ или СССС. Из-за помех каждая буква передаваемой последовательности принимается правильно с вероятностью 0,8, а с вероятностью 0,1 принимает за любую другую букву.

Найти:

1. Вероятность того, что на приёме будет получено АВАС (D).

H_A{передано АААА}, H_B{передано ВВВВ}, H_C{передано СССС}.

P(Ha)=0.15; P(Hb)=0.45; P(Hc)=0.4 P(D/Ha)=0.8²·0.1², P(D/Hb)=0.1³·0.8 P(D/Hc)=0.1³·0.8

2. На приёме получено АВАС, найти вероятность того, что передано СССС.

Проводится следующая схема испытаний: первоначально в урне находятся 9 белых и 7 чёрных шаров. Из урны берётся 1н шар и возвращается обратно в урну в которую ещё добавляется 4е шара того же цвета, что и вынутый шар. Найти вероятность того, что после этого взятый шар из урны окажется чёрным (А).

H1 – первый шар белый, H2 – первый шар чёрный.

P(H1)=9/9+7, P(H2)=7/9+7, P(A/H1)=7/9+7+4, P(A/H2)=7+4/9+7+4

Брошено две кости. А – на первой выпало чётное число очков, В – в сумме выпало чётное число очков, С – в сумме выпало менее 10 очков. Надо вычислить вероятность: P(A/B) P(B/A) P(A/C) P(C/A) P(B/C) P(C/B)

P(A/B)=P(AB)/P(B)

P(A)=4/6=2/3, P(B)=6/12=1/2, P(C)=1-6/36=5/6, P(A)=4*6/36=2/3, P(B)=(3*3+3*3)/36=1/2.

10 ЭТО 6+4 5+5 4+6 11 ЭТО 6+5 5+6 12 ЭТО 6+6

AB=(3,5)(4,6)(3,1)(3,3)(4,2)(4,4)(5,1)(5,3)(5,5)(6,2)(6,4)(6,6)

P(AB)=12/36=1/3, P(A/B)=P(AB)/P(B)=(1/3)/(1/2)=2/3, СОБЫТИЯ А И В НЕЗАВИСИМЫЕ, ПОЭТОМУ P(A/B)=1/2

P(A/C)=P(AC)/P©=1*6/2*5=3/5

АС это P(AC)=18/36=1/2

События А и С – зависимые события, т.к. P(A/C) НЕ РАВНО P(A)

P(C/A)=3*1/2*2=3/4, P(B/C)=P(BC)/P(C), P(C)=5/6, P(BC)=

BC=(1,1)(1,3)(1,5)(2,2)(2,4)(2,6)(3,1)(3,3)(3,5)(4,2)(4,4)(5,1)(5,3)(6,2)=14

P(BC)=(7/18)·(6/5)=7/15, P(C/B)=P(CB)/P(B)=(7/18)/(1/2)=7/9

Обнаружение воздушной цели проводится независимо 2мя локационными станциями. Вероятность обнаружения цели 1ст=0,7; 2ст=0,8;. Найти вероятность обнаружения цели. А1 – обнаружила 1ст, А2 – обнаружила 2ст.

P1=0.7 p2=0.8 P(A)=1-(1-P(A1))(1-P(A2))=0.94

В течении часа на станцию скорой поступает ξ вызовов. СВ ξ имеет распределение Пуассона с параметров 5. НВТ (найти вероятность того), что за это время поступит:

1.) ровно 2 вызова

2.)Не более 2х вызовов

1.)P(ξ=2)=(25/2)·e^-5

2/)P(ξ=0)=e^-5

P1(ξ=1)=(5/1)e^-5

P2(ξ=2)=(25/2)e^-5

Найти: S€[1,5;2,3]

S[0;2,3]=0.9893 S[0;1,5]=0.9332 0.9893-0.9332=0.0561

P(ξ€[-1.7;2.8]?

0.9974-0.5=0.4974 0.9554-0.5=0.4554 0.4974+0.4554=0.9528.

Moscow Russia MIEM 2004

Страница 8