Свойства
математических ожиданий.
-
Если св КСИ
постоянна (такая величина называется
вырожденной), то это означает, что
M(C)=C.
-
-
Для любой функции
φ(..) св
тогда:
,
в частности, если
.
-
называется вторым моментом св КСИ или:
Если
,
то
называют kым
моментом св КСИ или моментом порядка
k.
-
Для любых св
Доказательство:
|
ξ
|
X1
|
X2
|
…
|
Xn
|
|
|
P1
|
P2
|
…
|
Pn
|
|
ή
|
Y1
|
Y2
|
…
|
Ym
|
|
|
P1
|
P2
|
…
|
Pm
|
1 2
3 5
Следствие:
Математическое ожидание суммы
для любой св КСИ есть
.
Независимость св.
О.: св ξ и ή называются
независимыми, если для любого сножества
на прямой А и В события
независимы.
5.) Если св ξ и ή
независимы, то M(ξ·ή)=Mξ·Mή.
Доказательство:
Пусть св ξ и ή
задаются рядами распределения 1) и 2)
(см выше обозначение около таблицы), а
,
тогда
.
Следствие:
О.: св КСИ называются
независимыми, если любое для любых
множеств на прямой A1…An
события
если
эти события независимы в совокупности.
(Бредовое определение проверьте его).
Для любых независимых
св
.
-
СВ Кси называется
неотрицательной, если p{ξ>=0}=1,
если св неотрицательна и Mξ=0,
то ξ тождественно равно нулю.
Пример вычисления
математического ожидания.
Пусть Z(ξ)=BI(1,p),
Mξ=0*q+1*p=p
|
Закон
распределения св ξ
|
Ряд
распределения ξ
|
Мξ
|
Дисперсия
Dξ
|
Производящие
функции
|
|
Распределение
Бернулли Bi(1;p)
св ξ=числу успехов в одном испытании
|
|
p
|
pq
|
Q+zp
|
|
Биномиальный,
св КСИ=числу У в n
испытаниях Б, Р – вер-ть У в 1м испытании
|
|
np
|
npq
|
(q+zp)n
|
|
Закон
распределения Пуассона, св КСИ –
число отказов прибора, число заявок
П(λ)
|
|
λ
|
λ
|
|
|
Гипергеометрическое
распределение св КСИ
|
|
|
|
|
LordCamel
шпоры
страница 4
§6. Геометрические
вероятности.
Ω – некоторая
область на плоскости.
О.: В геометрическом
подходе вероятность события А называется
отклонение площади этого события к
площади всего пространства Ω независимо
от вида этого множества:
.
Пример: Двое
встречаются между 12 и 13 часами, тот кто
подходит первым ждёт 15 минут и уходит,
найти вероятность того, что они
встретятся.
Если встреча от 0
до Т, а ждут друг друга t,
то
.
§7. Испытания
Бернулли.
Испытания называются
независимыми, если исход каждого
испытания не зависит от того, чем
закончились предыдущие испытания.
О.: Испытаниями
Бернулли называют независимые испытания,
в каждом из которых имеется только 2а
исхода, они называются «Успехом» или
«Неудачей» и вероятность успеха не
меняется от испытания и результата.
§8. Дискретные
случайные величины.
Пусть эксперимент
имеет либо конечное, либо счётное число
возможных исходов. Вероятностной
моделью такого эксперимента является
дискретное вероятностное пространство,
то есть совокупность трёх элементов,
.
О.: любая числовая
функция, отображающая Ω на действительную
прямую называется дискретной случайной
величиной.
Пример: провели n
испытаний Бернулли с вероятностью
успеха в одном испытании, равной р.
число
успехов в n
испытаниях. Дискретная случайная
величина задана, если задано множество
её возможных значений и вероятностей,
с которыми она их принимает. Таблица.
|
|
X1
|
X2
|
…
|
Xn
|
…
|
|
|
P1
|
P2
|
…
|
Pn
|
…
|
|
|
0
|
1
|
2
|
…
|
K
|
|
|
qn
|
npqn-1
|
P2qn-2cn2
|
…
|
Cnkpkqn-k
|
В таблице ряд
распределения случайных величин.
В n
испытаниях получилось 0 успехов.
- 1 успех.
Закон распределения
такой случайной величины (св) называется
биномиальным.
,
задаётся двумя параметрами: числом
испытаний Бернулли, вероятность успеха
в одном испытании Бернулли,
число
успехов в n
испытаниях Бернулли.
Т.к. эксперимент
имеет либо конечное, либо счётное число
исходов, то и множество значений
дискретной св либо конечно, либо счётно.
Сумма в ряде распределения
ВСЕГДА!
§9. Функция
распределения и числовые характеристики
дискретных св.
О.: Функцией
распределения св
называется функция действительной
переменной, определяемая как
.
Пример: Пусть КСИ
задано рядом распределения
Функция распределения
дискретных величин определяет ряд
распределения этой св. Точки разрыва
это
возможные значения св.
Числовые
характеристики дискретных св.
Пусть св КСИ задана
рядом распределения:
О.: Математическим
ожиданием дискретных св называется
число:
.
Если число возможных значений счётное,
т.е.
,
то всегда требуется, чтобы этот ряд
абсолютно сходился.
Число возможных
значений КСИ конечно.
LordCamel
шпоры
страница 3.
