4 шпоргалки по Терверу / шпоры по терверу

Теория вероятностей.

В целях экономии времени: и т.д. (LordCamel).

Теория вероятностей (ТВ) – занимается изучением массовых случайных явлений. Обозначения: n – количество испытаний, А – событие, - количество промежуточных событий А. - относительная частота события А в n испытаниях. Эксперимент статистически устойчив, если с увеличением n стабилизируется, т.е. сближается с некоторым действительным числом p, которое называется вероятностью.

Глава 1.

Дискретные вероятностные пространства.

§1. Пространство элементарных исходов. Случайные события и операции над ними.

Пространство элементарных исходов - называется совокупность всех возможных неразложимых взаимоисключающих исходов эксперимента, ώ – элементарный исход.

Пример 1. Ώ=. Есть 4 пули, стреляем в мишень. , где 1 – попадание с первого раза, 01 – со второго и т.д., 0000 – промах.

Пример 2. - счётное пространство.

Пример 3. - интервал.

Определение: Если конечно или счётное, то случайным событием называется любое подмножество пространства элементарных условий.

Говорят, что в результате эксперимента наступило событие А, если эксперимент закончился точкой, которая принадлежит этому событию.

Если эксперимент закончился элементарным исходом, не принадлежащим событию А, то говорят, что наступило событие .

Произведением или пересечением двух событий – называется событие, состоящее в том, что происходило и событие А и событие В. .

Объединением двух событий называется событие, состоящее в том, что из этих 2-х событий произошло по крайней мере одно .

Событие А влечёт за собой событие В , если всякий раз, когда наступает событие А происходит событие В.

А и В называются несовместными, если АВ=пустому множеству.

§2. Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики.

Омега конечно и все элементарные исходы равноправны (ни один исход нельзя предпочесть другому). В этом случае вероятностью события А называется отношение числа исходов благоприятствющих событию А к общему числу возможных исходов эксперимента. . Элементы комбинаторики: Пусть имеется n различных элементов, по какому то правилу из этой совокупности выбираются k – элементов (этот набор называется выборкой объёма k из генеральной совокупности объёма n).

1. Упорядоченный выбор (УВ) (правило сравнения выборов)

При УВ – две выборки считаются одинаковыми, если они совпадают как векторы по координатам, i₁=j₁ для любых i=1…k.

А.) Выбор с возвращением (правило построения выборок) возможны повторения, n^k – количество повторений.

Б.) Выбор без возвращения (правило построения выборок) k<=n, (размещения), k=n n!(перестановка).

2. Неупорядоченный выбор (НУВ)

При НУВ две выборки считаются одинаковыми, если они содержат одни и те же элементы.

Выбор без возвращения: (7,2,4) (2,4,7).

Принцип двойственности: Для любых событий А и В: . омега принадлежит хотя бы одному из событий А или В хотя бы одному из событий .

LordCamel шпоры страница 1.

§3. Введение в вероятные меры в дисперсионном вероятном пространстве.

Пусть  - конечное или счётное. Обозначим через F – совокупность подмножеств . <,F> - измеренное пространство, припишем к каждому элементу F, т.е. к каждому случайному событию, связанному с данным экспериментом, некоторое число вероятности, то получим <,F,p> - дискретное вероятностное пространство (ДВП).

ДВП – вероятностная модель эксперимента с не более, чем счётным числом исходов. Припишем каждому  число i: так, чтобы , что называется нормировкой.

Для любого события определяем вероятность события такоим образом: .

Основные свойства вероятностной меры в дискретном пространстве:

1. Для любого события А 0<=p(A)<=1

2. Для несовместных событий А и В

Доказательство:

3. Для любых событий А и В

Доказательство:

4.)

5.) Если

6.) Общая теорема сложения вероятностей: Для любых событий А₁ … А_n:

§4Условные вероятности.

P(A)

Теорема умножения вероятностей для 2х событий:

Независимость событий.

О.: Два события А и В называются независимыми, если вероятность их произведения равна произведению их вероятностей. P(AB)=p(A)(p(B)) (1)

Для любых событий А и В P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B) (2). Из (1) и (2) следует, что P(B/A)=P+(B); P(A/B)=P(A).

Независимость событий в совокупности.

О.: События А1, А2, … , An называются независимости в совокупности, если для любой пары событий Aj и Ai P(AiAj)=P(Ai)P(Aj), при I не равном j.

Из независимости совокупности следует попарная независимость. Обратное утверждение не верно. Из попарной независимости не следует независимоть совокпности.

Если события А и В независимы, то независима любая пара событий Доказательство:

Если события А1, А2, … , An независимы в совокупности, то независимы в совокупности и такие события: Либо Aj, либо .

Теоремы умножения вероятностей для независимых в совокупности событий.

Если события А1, А2, … , An – независимы в совокупности, то P(A1, A2,…,An)=ПP(Aj), где J=от 1 до n.

§5. Формула полной вероятности.

Говорят, что события (гипотезы) H1…Hn образуют полную группу событий, если 1.) 2.) Они попарно несовместны, т.е. для любых I не равных j P(HiHj)=0. 3.) P(Hi)>0 для любого I от 1 до n.

Теорема: Если события H1,…,Hn образуют полную группу событий, для любого события А .

Доказательство:

- попарно несовместные события.

умножения вероятностей .

Формула Байеса.

Если события H1…Hn образуют полную группу событий, то для любого события А

Доказательство:

LordCamel шпоры страница 2