
4 шпоргалки по Терверу / шпоры по терверу
.doc
Теория вероятностей.
В целях экономии
времени:
Теория вероятностей
(ТВ) – занимается изучением массовых
случайных явлений. Обозначения: n
– количество испытаний, А – событие,
Глава 1.
Дискретные
вероятностные пространства.
§1. Пространство
элементарных исходов. Случайные события
и операции над ними.
Пространство
элементарных исходов
Пример 1. Ώ=
Пример 2.
Пример 3.
Определение: Если
Говорят, что в
результате эксперимента наступило
событие А, если эксперимент закончился
точкой, которая принадлежит этому
событию.
Если эксперимент
закончился элементарным исходом, не
принадлежащим событию А, то говорят,
что наступило событие
Произведением или
пересечением двух событий – называется
событие, состоящее в том, что происходило
и событие А и событие В.
Объединением двух
событий называется событие, состоящее
в том, что из этих 2-х событий произошло
по крайней мере одно
Событие А влечёт
за собой событие В
А и В называются
несовместными, если АВ=пустому множеству.
§2. Классическое
определение вероятности. Элементы
комбинаторики.
Омега конечно и
все элементарные исходы равноправны
(ни один исход нельзя предпочесть
другому). В этом случае вероятностью
события А называется отношение числа
исходов благоприятствющих событию А
к общему числу возможных исходов
эксперимента.
Упорядоченный
выбор (УВ) (правило сравнения выборов)
При УВ – две выборки
А.) Выбор с
возвращением (правило построения
выборок) возможны повторения, nk
– количество повторений.
Б.) Выбор без
возвращения (правило построения выборок)
k<=n,
Неупорядоченный
выбор (НУВ)
При НУВ две выборки
считаются одинаковыми, если они содержат
одни и те же элементы.
Выбор без возвращения:
(7,2,4) (2,4,7).
Принцип двойственности:
Для любых событий А и В:
LordCamel
шпоры
страница 1.
§3. Введение в
вероятные меры в дисперсионном вероятном
пространстве.
Пусть
- конечное или счётное. Обозначим через
F
– совокупность подмножеств .
<,F>
- измеренное пространство, припишем к
каждому элементу F,
т.е. к каждому случайному событию,
связанному с данным экспериментом,
некоторое число вероятности, то получим
<,F,p>
- дискретное вероятностное пространство
(ДВП).
ДВП – вероятностная
модель эксперимента с не более, чем
счётным числом исходов. Припишем каждому
число i:
Для любого события
Основные свойства
вероятностной меры в дискретном
пространстве:
Для любого события
А 0<=p(A)<=1
Для несовместных
событий А и В
Доказательство:
Для любых событий
А и В
Доказательство:
4.)
5.) Если
6.) Общая теорема
сложения вероятностей: Для любых событий
А1
… Аn:
§4Условные
вероятности.
P(A)
Теорема умножения
вероятностей для 2х событий:
Независимость
событий.
О.: Два события А
и В называются независимыми, если
вероятность их произведения равна
произведению их вероятностей.
P(AB)=p(A)(p(B))
(1)
Для любых событий
А и В P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)
(2). Из (1) и (2) следует, что P(B/A)=P+(B);
P(A/B)=P(A).
Независимость
событий в совокупности.
О.: События А1, А2,
… , An
называются независимости в совокупности,
если для любой пары событий Aj
и Ai
P(AiAj)=P(Ai)P(Aj),
при I
не равном j.
Из независимости
совокупности следует попарная
независимость. Обратное утверждение
не верно. Из попарной независимости не
следует независимоть совокпности.
Если события А и
В независимы, то независима любая пара
событий
Если события А1,
А2, … , An
независимы в совокупности, то независимы
в совокупности и такие события:
Теоремы умножения
вероятностей для независимых в
совокупности событий.
Если события А1,
А2, … , An
– независимы в совокупности, то P(A1,
A2,…,An)=ПP(Aj),
где J=от
1 до n.
§5. Формула полной
вероятности.
Говорят, что события
(гипотезы) H1…Hn
образуют полную группу событий, если
1.)
Теорема: Если
события H1,…,Hn
образуют полную группу событий, для
любого события А
Доказательство:
умножения
вероятностей
Формула Байеса.
Если события H1…Hn
образуют полную группу событий, то для
любого события А
Доказательство:
LordCamel
шпоры
страница 2и
т.д. (LordCamel).
- количество промежуточных событий А.
- относительная частота события А в n
испытаниях. Эксперимент статистически
устойчив, если
с увеличением n
стабилизируется, т.е. сближается с
некоторым действительным числом p,
которое называется вероятностью.
- называется совокупность всех возможных
неразложимых взаимоисключающих исходов
эксперимента, ώ – элементарный исход.
.
Есть 4 пули, стреляем в мишень.
,
где 1 – попадание с первого раза, 01 –
со второго и т.д., 0000 – промах.
- счётное пространство.
- интервал.
конечно или счётное, то случайным
событием называется любое подмножество
пространства элементарных условий.
.
.
.
,
если всякий раз, когда наступает событие
А происходит событие В.
.
Элементы комбинаторики: Пусть имеется
n
различных элементов, по какому то
правилу из этой совокупности выбираются
k
– элементов (этот набор называется
выборкой объёма k
из генеральной совокупности объёма
n).
считаются одинаковыми, если они совпадают
как векторы по координатам, i1=j1
для любых i=1…k.
(размещения),
k=n
n!(перестановка).
.
омега
принадлежит хотя бы одному из событий
А или В
хотя
бы одному из событий
.
так,
чтобы
,
что называется нормировкой.
определяем вероятность события такоим
образом:
.
Доказательство:
Либо
Aj,
либо
.
2.) Они попарно несовместны, т.е. для
любых I
не равных j
P(HiHj)=0.
3.) P(Hi)>0
для любого I
от 1 до n.
.
- попарно несовместные
события.
.