52. Модели медицинской диагностики, основанные на теории статистич-х решений

В теории статистических решений каждый класс объектов K_S задается не набором прецедентов, а функцией распределения f_S, которая определяет вероятность появления объекта из класса S в точке x m-мерного пространства.

Вероятность появления точки в тех или других классах разная.

Решающее правило: объект относится к тому классу, у которого вероятность больше.

- поверхность, разделяющая 2 класса (в одномерном случае – точка).

P(2|1) = α – ошибка первого рода (вероятность того, что объект из класса К₁ классифицируется в класс К₂)

Р(1|2) = β – ошибка второго рода (вероятность того, что объект из класса K₂ классифицируется в класс К₁)

Тогда решающее правило: α + β → min

С₁, С₂ – стоимость ошибки первого и второго рода

Тогда решающее правило ищем не по минимуму ошибки, а по минимуму стоимости потерь при ошибках: С₁α + С₂β → min

Модели

1. Метод максимального правдоподобия

Если признаки независимы, то: f_S(x) = f_S(x₁)f_S(x₂)… f_S(x_m)

Тогда: γ(x) = γ(x₁) + γ(x₂) + … + γ(x_m)

γ(x_j) = ДК(x_j), ДК – диагностический коэффициент

2. Метод Неймана-Пирсона

Если признаки непрерывные, то используются коэффициенты корреляции Пирсона ρ. |ρ| [0,1]

Если ρ → 0, то признаки никак не связаны между собой.

Если ρ → 1, то признаки связаны так тесно, что один из них можно выбросить (признаки дублируют друг друга с точностью до постоянных коэффициентов)

Если признаки независимы, то они должны быть представлены одномерной функцией распределения f(x_j)

Если признаки зависимы, то рассматривается функция распределения для пары f(x_i x_p)

Наиболее просто применять этот метод, когда: 1) Все функции являются нормальными гауссовыми, 2) Все признаки бинарные

3. Модель Фишера

Рассмотрим нормальное распределение:

Решающее правило:

Такой ответ получается в случае, когда дисперсии в классах К₁ и К₂ одинаковы.

Если дисперсии отличаются, то модель Фишера усложняется.

Для многомерной модели:

Более сложный вариант решающего правила содержит матрицу ковариации:

4. Метод Байеса

Известно: вектор признаков x = (x₁, x₂,…, x_m), классы К_S,

P(xK_s) – вероятность того, что объект, имеющий вектор признаков х принадлежит классу К_s

P(xK_s) = P(x)P(K_s/x) , где P(x) – вероятность появления вектора признаков х во всех классах

P(K_s/x) – вероятность того, что объект принадлежит классу К_s при условии, что он имеет вектор признаков х.

P(xK_s) = P(K_s)P(x/K_s)

P(K_s) – вероятность появления класса K_s (не зависит от вектора признаков). Это априорная информация принадлежности классу. Эта вероятность отражает то свойство классов, которая означает, что объекты из разных классов могут встречаться не одинаково часто.

P(x/K_s) – вероятность того, что объект имеет вектор признаков х при условии, что он принадлежит классу K_s. (Это функция распределения для s-го класса f_s(x))

Теорема Байеса

P(K_s/x) – апостериорная информация (получается после проведения опыта).

Решающее правило: объект х относится к такому классу, для которого апостериорная вероятность максимальная.

Если всего 2 класса, то получаем соотношение максимального правдоподобия: