Вопросы по курсу «теория вероятностей и математическая статистика»

-Вопросы по курсу «теория вероятностей и математическая статистика»

для студентов групп АП-51-52

(2008/2009 учебный год, осенняя сессия)

1. Пространство элементарных исходов, стохастический эксперимент. Статистическая устойчивость .Примеры.

2. Случайные события. Операции над случайными событиями. Свойства операций. Принцип двойственности.

3. Дискретное вероятностное пространство. Определения и примеры.

4. Элементы комбинаторики. Размещения, сочетания, перестановки. Примеры.

5. .Схемы выбора (упорядоченный, неупорядоченный выбор, с возвращением и без возвращения). Примеры.

   1. Схемы размещения частиц по ячейкам.. Соответствие между схемами выбора и размещения.

6. Выборки из генеральной совокупности, содержащей элементы двух типов. Гипергеометрическое распределение. Обобщённое гипергеометрическое распределение. Примеры.

7. Классическое определение вероятности. Примеры.

8. Геометрическая вероятность. Задача о встрече. .Парадокс Бертрана.

9. Аксиоматика теории вероятностей. Вероятностное пространство. Определения и примеры основных понятий.

10. .Аксиомы теории вероятностей и простейшие следствия из них.

11. Теорема сложения вероятностей для двух событий Несовместные события. Общая теорема сложения.

12. Условная вероятность. Независимость событий попарная и в совокупности. Пример Бернштейна..

13. Теорема умножения вероятностей для двух и для произвольного числа событий.

14. Формула полной вероятности. Понятие о полной группе событий. Примеры.

15. Формула Байеса. Априорные и апостериорные вероятности. Примеры.

16. Последовательность независимых испытаний Бернулли. Распределение числа успехов в n испытаниях . Наивероятнейшее число успехов

17. .Число испытаний до первого успеха в схеме Бернулли.. Геометрическое распределение вероятностей .Свойство “не старения”

18. Полиномиальная схема. Примеры.

19. Определение случайной величины. Способы задания законов распределения случайных величин.

20. Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Функция распределения. Примеры.

21. Функция распределения, её свойства. Примеры.

22. Абсолютно непрерывные случайные величины, плотность распределения, её свойства.

23. Моменты случайных величин. Свойства математического ожидания и дисперсии.

24. Мода, медиана распределения. Моменты k-ого порядка. Асимметрия, эксцесс. Примеры.

25. Дискретные распределения :биномиальное и геометрическое. Моменты,

26. .Отрицательное биномиальное распределение. Распределение Паскаля. Моменты.

27. Пуассоновское распределение. Моменты. Теорема Пуассона.

28. Гипергеометрическое распределение и равномерное дискретное. Моменты. Примеры.

29. Равномерное непрерывное распределение, моменты. Правило 3 . Моделирование.

30. Экспоненциальное распределение, моменты. Правило 3 . Моделирование.

31. Нормальное распределение, моменты. Правило 3 . Моделирование.

32. Моделирование непрерывных распределений.

33. Предельные теоремы в схеме Бернулли: локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа, теорема Пуассона. Примеры.

34. Многомерные случайные величины. Совместная функция распределения двумерного случайного вектора.и ее свойства.

35. Совместное распределение двух дискретных случайных величин. Числовые характеристики. Независимость случайных величин. Примеры.

36. Абсолютно непрерывные совместные распределения двух случайных величин. Совместная плотность распределения и ее свойства. Числовые характеристики. Независимость случайных величин.

37. Ковариация, её свойства.

38. Коэффициент корреляции, его свойства. Независимые и некоррелированные случайные величины. Примеры. Двумерное нормальное распределение.

39. Функции от случайных величин и их распределения. Примеры.

40. Расределение суммы двух независимых дискретных случайных величин. Примеры...

41. Формула свертки .Гамма распределение .Хи-квадрат распределение.

42. Неравенства Ляпунова, Маркова, Чебышева. Примеры.

43. Сходимость по вероятности. Закон больших чисел. (Теоремы Чебышева, Маркова, Хинчина, Бернулли, Пуассона). Примеры применения.

44. Слабая сходимость случайных величин. Центральная предельная теорема. (Теорема Леви, теорема Ляпунова). Примеры применения.

45. Основные задачи математической статистики.

46. Генеральная совокупность, выборки, вариационный ряд, порядковые статистики.

47. Законы распределения минимального и максимального членов вариационного ряда. Распределение k-ой порядковой статистики. Примеры.

48. Эмпирическая функция распределения, её свойства.

49. Гистограмма и полигон частот.

50. Выборочные моменты, их свойства (выборочное среднее, выборочная дисперсия, выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса).

51. Задачи точечного оценивания. Свойства точечных оценок (несмещённость, состоятельность ).

52. Функция правдоподобия. Оценки максимального правдоподобия. Примеры.

53. Оценивание неизвестных параметров распределения методом моментов. Примеры.

54. Метод наименьших квадратов.

55. Метод Монте-Карло

54.Критерий согласия хи-квадрат Пирсона.

55.Цепи Маркова. Матрица вероятностей перехода. Предельные вероятности.