3.4 Початкові та граничні умови

Рівняння фільтрації є диференціальними рівняннями в частинних похідних. Щоб дістати розв’язок системи рівнянь, до неї необхідно ще додати початкові та граничні (або разом крайові) умови, які дають змогу виділити з безлічі розв’язків лише один, який описує конкретний процес фільтрації.

У випадку стаціонарної (усталеної) фільтрації мають бути задані тільки граничні умови, які виражають значини тиску (градієнта тиску) або витрати (швидкості) на зовнішній і внутрішній межах пласта. Кількість граничних умов має дорівнювати порядку диференціального рівняння по координатах. Граничні умови задаються у вигляді шуканої функції (граничні умови першого типу), її похідної (відповідно другого типу) або в мішаному вигляді, включаючи функцію та її похідну (відповідно третього типу), тобто щодо межі Г кожний тип можна записати так:

, (3.45)

де u – шукана функція; – похідна шуканої функції по нормалі n до границі Г; f₁,  f₂,  f₃ – конкретні функції, що випливають з фізичної постановки задачі.

Для прикладу запишемо такі граничні умови на межі Г:

а) постійний тиск

; (3.46)

б) постійна витрата рідини Q через межу, наприклад, у разі справедливості закону Дарсі

(3.47)

або

; (3.48)

в) зміна витрати рідини через межу або змінний тиск на межі

; (3.49)

; (3.50)

г) замкнута (непроникна) межа (наприклад, зупинена свердловина)

; (3.51)

; (3.52)

д) нескінчeнний вздовж простягання пласт

(за ), (3.53)

де t – час; v – швидкість фільтрації згідно з (3.16); F(l) – площа фільтрації як функція шляху фільтрації l; f₁(t), f₂(t) – конкретні функції часу t.

У разі неусталеної (нестаціонарної) фільтрації крім умов на межах потоку, задають ще початкові умови. Вони характеризують шукану функцію в деякий момент часу, який приймають за початковий, тобто для t = 0. Наприклад, якщо в початковий момент часу (t = 0) пласт не був збурений, то початкова умова може бути записана як

p(x,y,z,0) = p₀(x,y,z) (3.54)

або

p(x,y,z,0) = const, (3.55)

де p₀ (x, y, z) – стаціонарний розподіл тиску в пласті за t=0.

3.5 Виведення узагальненого диференціального рівняння ізотермічної фільтрації пружної рідини чи газу за законом Дарсі в пористому середовищі

Узагальним диференціальне рівняння буде тоді, коли для його виведення не буде використано рівняння стану флюїду. Для цього скористаємося тільки рівняннями нерозривності потоку (3.12) і руху (3.19). Для розв’язування вводимо функцію Лейбензона

, (3.56)

де с – постійна інтегрування.

Повний дифeренціал цієї функції

. (3.57)

Отже, Тоді рівняння Дарсі (3.19) набувають вигляду:

(3.58)

Підставляючи ці рівняння Дарсі (3.58) у рівняння нерозривності потоку (3.11), отримуємо шукане узагальнене диференціальне рівняння неусталеної ізотермічної фільтрації пружної рідини чи газу за законом Дарсі в пористому середовищі

. (3.59)

Якщо припустити, що k і  постійні, то із рівняння (3.59) маємо ще й в таких записах узагальнене диференціальне рівняння:

(3.60)

або

, (3.61)

або

, (3.62)

або

, (3.63)

де – оператор Лапласа, або лапласіан, або диференціатор другого порядку ( читається набла два, а  – лапласіан),  .

Якщо використати модифіковану функцію Лейбензона

, (3.64)

то рівняння (3.59) матиме простіший вигляд:

. (3.65)

У разі усталеної (стаціонарної) фільтрації (параметри не змінюються з часом) диференціальне рівняння набуває вигляду рівняння Лапласа:

(3.66)

або

(3.67)