Контрольні питання

1. Із нафтового покладу ще не здійснювали відбирання нафти і не закачували в нього флюїдів. На вибоях двох свердловин манометром виміряли тиски. Вони виявилися різними. Що можна сказати про фільтрацію рідини між цими свердловинами?

2. Поясніть геометричну, часову та фізичну подібності гідромеханічних процесів.

3. Поясніть суть методу аналізу розмірностей.

4. Як вибрати незалежні змінні?

3 Диференціальні рівняння ізотермічної фільтрації флюїдів у пористому середовищі

Розв’язуючи задачі фільтрації, в першу чергу слід дати математичну постановку задачі, а саме:

1) написати рівняння (чи систему рівнянь), якому задовільняє шукана функція, що описує досліджуваний процес;

2) написати додаткові умови, яким має відповідати шукана функція на межах області її визначення та в початковий момент часу.

Повну характеристику ізотермічної фільтрації дає система диференціальних рівнянь, що охоплює рівняння нерозривності потоку, руху, стану флюїдів і пористого середовища, а також додаткові (початкові та граничні ) умови.

3.1 Виведення рівняння нерозривності фільтраційного потоку

Рівняння нерозривності (неперервності, суцільності) фільтраційного потоку являє собою рівняння балансу (порівнювального підсумку) маси флюїду в елементарному об’ємі пористого средовища. Під елементарним об’ємом розуміємо нескінченно малий об’єм, але який ще зберігає загальні характеристики середовища.

Виділимо в пористому середовищі елементарний об’єм у формі паралелепіпеда з ребрами dx, dy, dz (рис. 3.1). Об’єм паралелепіпеда

, (3.1)

об’єм порового простору в ньому

, (3.2)

де m – кофіцієнт пористості, який у загальному випадку розглядається як змінна величина, що залежить від просторових координат x, y, z і від тиску p, тобто m = m (x, y, z, р).

Знайдемо зміну маси рідини всередині паралелепіпеда за проміжок часу dt, здійснюючи розрахунок двома різними методами.

Рис.3.1. Елементарний об’єм пористого середовища

З одного боку, маса рідини в порах

, (3.3)

звідки, диференціюючи вираз (3.3), можна знайти зміну маси M за проміжок часу dt:

, (3.4)

де  – коефіцієнт насичності пор рідиною;  – густина рідини.

З другого боку, приймемо, що через грань abcd паралелепіпеда вливається рідина. Масова швидкість фільтрації є добутком v, а v_х – проекція вектора масової швидкості фільтрації на вісь x, де v – об’ємна швидкість фільтрації. За проміжок часу dt через площу цієї грані (dy dz) протікає маса

. (3.5)

Через протилежну грань abcd, що віддалена від першої на відстані dx, витікає за такий же час маса

, (3.6)

де – зміна масової швидкості фільтрації на відстані dx.

Нагромаджена в паралелепіпеді за час dt маса складає різницю між масою, що вливається, і масою, що витікає:

,

або з урахуванням виразу (3.1)

. (3.7)

Аналогічні вирази для нагромадженої маси в порах за час dt дістанемо і в разі фільтрації вздовж осей y і z:

, (3.8)

де v_у, v_z – проекції вектора масової швидкості фільтрації на осі y і z.

Загальну зміну маси dM рідини (або нагромадження маси в паралелепіпеді) за час dt вздовж усіх осей одержуємо додаванням виразів (3.7) і (3.8):

. (3.9)

Прирівнюючи знайдені зміни маси за двома незалежними методами, дістаємо рівняння нерозривності фільтраційного потоку в координатній формі:

(3.10)

або у векторній формі

, (3.11)

де – дівергенція (від лат. divergentia - розходження), зміна вектора масової швидкості фільтрації в точці векторного поля або символічний запис цього тричлена (частинних похідних від по просторових координатах). Можна також записати де символ (читається набла) називають оператором Гамільтона.

Якщо припустити, що в елементарному об’ємі пористого середовища знаходяться розподілені джерела, які продукують рідину (чи газ) з інтенсивністю λ, то відповідне збільшення маси рідини від дії розподілених джерел в елементарному об’ємі рівне λVdt.

Тоді прирівнюючи усі зміни маси рідини, аналогічно рівнянню (3.11) отримуємо рівняння збереження маси:

(3.12)

Якщо розподілені джерела відсутні, то задаємо λ = 0, причому λ може бути додатньою (продукується рідина) і від’ємною величиною (поглинається рідина).

Якщо процес фільтрації не змінюється з часом (стаціонарний потік, усталений потік), то похідна по t дорівнює нулю і маємо у випадку усталеної фільтрації рівняння нерозривності фільтраційного потоку для стисливих флюїдів (ρ ≠ const):

(3.13)

або для нестисливих флюїдів (= const)

. (3.14)