16.3 Усталена фільтрація нафти в тріщинуватому та тріщинувато-пористому пластах за законом Дарсі

Усталена фільтрація нафти в чисто тріщинуватому пласті описується диференціальним рівнянням (див. підрозд. 16.2):

(16.29)

Якщо ввести функцію Лейбензона

(16.30)

то можна показати (див. підрозд. 3.3), що вона задовольняє рівнянню Лапласа

. (16.31)

Тобто, ми дійшли аналогії між усталеною фільтрацією рідини в пористому пласті та усталеною фільтрацією рідини в чисто тріщинуватому пласті. Тоді всі попередні розв’язки для рідини можна використати для описування руху в деформівному тріщинуватому пласті, замінивши тиск р на функцію Лейбензона Р.

Або ще так можна записати. Оскільки похідна в рівнянні (16.29) дорівнює нулю, то вираз дорівнює сталій, а нею буде масова швидкість фільтрації , якщо врахувати формулу (16.23), тобто

(16.32)

У випадку фільтрації до свердловини рівняння (16.32) записується так:

(16.33)

Масовий дебіт

(16.34)

звідки одержуємо

;

;

. (16.35)

Приймаючи будь-які залежності , , , визначимо функції Лейбензона і , а тоді – масовий дебіт Q_м.

Наприклад, розглянемо фільтрацію нестисливої рідини з постійним динамічним коефіцієнтом в’язкості і приймемо експоненціальну залежність коефіцієнта проникності (16.20) від тиску.

Тоді записуємо:

; (16.36)

(за р = р_к, прийнявши р₀ = р_к);

(за р = р_с);

; (16.37)

, (16.38)

де Q – об’ємний дебіт свердловини.

Знайдемо розподіл тиску в тріщинуватому пласті. Для цього рівняння (16.34) інтегруємо і перетворюємо так:

;

;

;

;

; (16.39)

. (16.40)

На рис. 16.2 і 16.3 показано індикаторну лінію для нафтової та водонагнітальної свердловин, а також криві розподілу тиску в пласті.

Зазначимо, що індикаторна лінія для нафтових свердловин опукла до осі Q, а для водонагнітальної – до осі .

У деформівному тріщинуватому пласті лійка депресії тиску крутіша, ніж у недеформівному пористому пласті, бо внаслідок зменшення тиску зменшується розкриття тріщин, зростає опір руху, а тиск ще більше зменшується.

З індикаторної лінії можна визначити реологічний параметр , коефіцієнт гідропровідності або коефіцієнт k₁₀ за відомих товщини пласта h та динамічного коефіцієнта в’язкості рідини . Наприклад, параметр  знаходимо для двох відомих точок індикаторної лінії (Q₁, та Q₂, ) із співвідношення

. (16.41)

Можна взяти кілька спарених точок і знайти середню значину параметра . Тоді з рівняння дебіту (16.38) знаходимо коефіцієнт тріщинної проникності k₁₀.

У разі усталеної фільтрації рух у тріщинах і порах проходить незалежно (див. підрозд. 16.2). Тоді у тріщинувато-пористому пласті дебіт свердловини дорівнює сумі припливів з тріщин і з пор, тобто

, (16.42)

де покладено .

Оскільки , то другим доданком у рівнянні (16.42) часто нехтують внаслідок його малості.

Форма індикаторної лінії у тріщинувато-пористому пласті залежить від вагомості доданків у рівнянні (16.42).

16.4 Усталена фільтрація нафти в тріщинуватому та тріщинувато-пористому пластах за нелінійним законом

Індикаторні лінії свердловин у тріщинуватих пластах звичайно бувають опуклими до осі дебітів. Відхилення їх від прямої лінії може викликати багато причин:

1) деформація колектора, зумовлена зміною тиску вздовж пласта;

2) інерційні сили, оскільки переріз потоку в тріщинах дуже звужений і швидкості руху великі;

3) зміна властивостей рідини (, ) від тиску і т. ін.

Тоді фільтрацію можна описати двочленною формулою

, (16.43)

де в′ – коефіцієнт гідравлічного опору в законі фільтрації, ; – швидкість фільтрації.

Експериментальні дані можна описати формулами:

; (16.44)

; (16.45)

, (16.46)

де k₁₀, ₀, ₀ – відповідно коефіцієнт тріщинної проникності пласта, густина та динамічний коефіцієнт в’язкості рідини за початковому тиску р₀ (наприклад, р₀ = р_к); _к, _к, _ – постійні коефіцієнти.

Можна приймати (див. підрозд. 3.4) .

Тоді, підставляючи ці залежності у формулу (16.43) та інтегруючи, дістаємо рівняння припливу рідини із тріщинуватого пласта:

, (16.47)

де – депресія тиску; ; А, В – коефіцієнти фільтраційного опору, ; .

Виконаємо аналіз рівняння (16.47). Розкладаючи у ряд, маємо (К. М. Донцов і В. Т. Боярчук):

. (16.48)

Беремо в рівнянні (16.48) замість суми лише перший доданок (п = 1), тоді одержуємо відому двочленну формулу припливу рідини до свердловини:

, (16.49)

у якій не враховано деформацій колектора і рідини.

Відповідно за п = 2 (формула Л. Г. Наказної), п = 3 і п = 4 маємо:

; (16.50)

; (16.51)

. (16.52)

Нехтуючи інерційним членом у записаних формулах, дістаємо:

а) формулу А. Т. Горбунова із рівняння (16.47)

; (16.53)

б) формулу А. Бана із рівняння (16.50) за п = 2

; (16.54)

в) формулу Д. М. Кузьмичова із рівняння (16.51) за п = 3

; (16.55)

г) формулу Д. М. Кузьмичова та Р. Г. Ісаєва із рівняння (16.52) за п = 4

. (16.56)

Цікаво, якою ж формулою користуватися ? Якщо в ході оброблення індикаторної діаграми за способом Е. М. Мінського не одержується пряма лінія, тоді треба врахувати деформацію колектора, тобто користуватися формулами (16.47) чи Л. Г. Наказної (16.50) за справедливості нелінійного закону або формулою А. Т. Горбунова (16.53) чи А. Бана (16.54) за справедливості закону Дарсі.