2.3 Застосування методів теорії подібності й аналізу розмірностей у підземній гідрогазомеханіці

Складність деяких гідрогазодинамічних процесів іноді не дає змоги або розв’язати складену систему диференціальних рівнянь з використанням найкращих ЕОМ, або навіть поставити математичну задачу. У таких випадках змінні величини спочатку групують у безрозмірні комплекси або на основі диференціальних рівнянь, або шляхом використанням методу аналізу розмірностей, а відтак одержують загальну функціональну залежність між цими комплексами. Графічну чи аналітичну залежність між комплексами встановлюють за даними експериментів з використанням фізичних моделей.

Щоб правильно перенести результати модельного експерименту на натурний процес, необхідно забезпечити їхню подібність, а систему понять і законів, які обгрунтовують можливість такого перенесення називають теорією подібності. Фізичні явища (чи процеси) називають подібними, коли відповідні безрозмірні комплекси для них збігаються, хоча явища відрізняються числовими значинами розмірних визначальних параметрів. Коли збіг досягнуто за всіма параметрами, то подібність буде повна, а коли тільки за частиною параметрів, то подібність часткова, або наближена. Якщо впливом якої-небудь фізичної величини (або комплексу величин) можна нехтувати, то відносно цієї величини процес буде автомодельним (самомодельним).

Під час фізичного моделювання процесу необхідно забезпечити геометричну, часову та фізичну подібність.

Геометрична подібність означає подібність лінійних розмірів, наприклад довжини L і діаметра d для натурного зразка і моделі, тобто

, (2.2)

де idem означає той самий, однаковий. За умови подібності значина i_e буде незмінною; його називають інваріантом подібності (від лат. invariantis – незмінний) або іноді симплексом (від лат. simplex – простий) подібності (в загальному випадку симплекс подібності є відношенням однорідних геомет­ричних, фізичних та інших величин). Відношення подібних розмірів натури й моделі називають константами геометричної подібності, наприклад Константа подібності C_d є масштабним (перехідним) множни­ком, показує в скільки разів треба змінити розміри, щоб натура і модель збіглися.

Якщо відношення між подібними інтервалами часу перебігу процесу, що має місце у двох системах, постійне, то в процесах дотримується часова подібність, або гомохронність (однорідність за часом). Часова подібність має місце, коли

, (2.3)

де ... – інтервали часу певних стадій у першому процесі; ... – інтервали часу відповідних стадій у другому процесі; C_t – число гомохронності або константа часової стабільності, яка зберігає постійність для двох подібних процесів. Число гомохронності характеризує нестаціонарність процесу руху. Частковий випадок гомохронності за C_t = 1 називається синхронністю – одночасним перебігом процесів.

Фізична подібність процесів у подібні моменти часу вимагає забезпечення постійності відношень значин фізичних величин, що характеризують процес. Вона може виражатися через константи й інваріанти подібності. Інваріанти подібності, що являють собою безрозмірні комплекси різнорідних величин, називають критеріями. або числами подібності. Із інваріант гідродинамічної подібності можна назвати вже описані вище критерій Рейнольдса, і числа Ейлера та Дарсі.

Число подібності завжди є шуканою величиною, так як у нього входить шукана величина (наприклад, градієнт тиску в числі Ейлера чи в числі Дарсі), а критерії подібності враховують вплив різних факторів на досліджуваний процес і їх записують у правій частині рівняння (наприклад, кінематичний коефіцієнт в’язкості в критерії Рейнольдса).

Критерії подібності встановлюють із рівнянь, які описують подібні процеси шляхом аналізу розмірностей, за допомогою масштабних перетворень і т.д. Знайдені критерії подають у вигляді рівняння подібності, яке називають також критеріальним рівнянням, наприклад,

Da = f (Re). (2.4)

Для зручності оброблення дослідних даних рівняння подібності записують у вигляді степеневої функції

Da = α Re^β, (2.5)

де ,  - дослідні коефіцієнти.

Критерії, які складені із величин, що визначають характер процесу, але не містять шуканих величин, називаються визначальними, а критерії (числа), які містять шукані величини, – невизначальними.

Аналогічно, наприклад, температуру, яка не входить у критерії подібності, але за якою визначають фізичні параметри флюїду, називають визначальною температурою. Визначальним розміром може бути характерний лінійний розмір.

Для того, щоб вияснити, які із змінних величин, що входять у рівняння подібності, є незалежними, необхідно визначити крайові умови перебігу досліджуваного процесу – умови однозначності:

1. геометричні умови (форма і розмір тіла, координатна система);

2. фізичні умови (фізичні властивості середовища і флюїдів);

3. часові умови, які характеризують стан системи в початковий момент часу;

4. граничні умови, які визначають умови взаємодії системи з навколишнім середовищем.

Величини, які входять в умови однозначності і задаються зовнішнім чином відносно до основних рівнянь, є незалежними змінними, тому називаються визначальними, а їх сукупність однозначно визначає перебіг даного процесу.

Практичне застосування теорії подібності до експериментального і теоретичного дослідження процесів грунтується на трьох теоремах подібності:

а) перша (Ньютона - Бертрана) – подібні явища характеризуються чисельно рівними критеріями подібності;

б) друга (Бекінгема - Федермана) – будь-яка залежність між фізичними величинами, що харакеризують явище або процес, може бути представлена у вигляді взаємної залежності між критеріями подібності, тобто у вигляді узагальненого критеріального рівняння;

в) третя (Кирпічова - Гухмана), обернена першій, – подібні ті явища або системи, які описуються однаковими рівняннями зв’язку і умови однозначності яких подібні (під умовами однозначності розуміють критерії подібності, що складені з фізичних величин, які входять у початкові та граничні умови, тобто в умови однозначності, а самі ці критерії називають визначаючими на відміну від тих, які підлягають визначенню).

Коли не вдається поставити математичну задачу (скласти систему диференціальних рівнянь), то критерії складають на основі аналізу розмірностей з фізичних величин, які мають відповідну розмірність, що виражена з допомогою основних одиниць вимірювання. Сукупність основних одиниць вимірювання називають системою одиниць вимірювання. Основні одиниці міжнародної (інтернаціональної) системи (СІ або SI) одиниць вимірювання – метр (довжина – L), кілограм (маса – M), секунда (час – T), градус Кельвіна (температура – ), ампер (сила струму – I), свіча (сила світла – J). Похідні одиниці утворюються з основних (наприклад, одиниця виміру швидкості – метр за секунду, м/с; LT ^–1).

Розмірність – символічне (буквенне) позначення відповідної величини, яке відображає її зв’язок з основними величинами системи і є добутком цих величин. Розмірність величини  прийнято позначати []. Наприклад, розмірність густини складає , динамічного коефіцієнта в’язкості – , коефіцієнта проникності – . У загальному випадку розмірність якоїсь фізичної величини B виражають так: де , , , , ,  – постійні. Розмірністю фізичної величини називають функцію, яка визначає в скільки разів змінюється числова значина цієї величини при переході від початкової системи одиниць вимірювання до довільної системи даного класу. Класом систем одиниць вимірювання називається сукупність систем одиниць вимірювання, які відрізняються тільки величиною основних одиниць вимірювання, але не відрізняються своєю природою. Клас системи СІ можна позначити LMT. У різних класах систем одиниць вимірювання розмірність одної і тої ж величини різна, а в межах класу змінюються числові значини величин. Якщо фізична величина не залежить від жодної з основних величин даного класу, то її називають безрозмірною (тобто названі вище постійні дорівнюють нулю, а її розмірність дорівнює одиниці).

Метод аналізу розмірностей, введений у науково-дослідну практику Бріджменом, базується на так званій  - теоремі, що є окремим випадком другої теореми подібності.

 - теорема (виведена Бекінгемом) формулюється так: будь-яке рівняння, яке з’єднує між собою n фізичних величин (наприклад, швидкість, коефіцієнт в’язкості, густину і т. д.), серед яких S величин мають незалежні розмірності (наприклад, маса, довжина, час), може бути перетворене на рівняння, що зв’язує (n-S) безрозмірних комплексів (критеріїв) і симплексів, складених з цих величин.

Група величин має незалежні розмірності, якщо розмірність жодної з цих величин не можна подати у вигляді добутку степенів розмірностей решти.

Наприклад, розмірності швидкості [] = LT^-1, динамічного коефіцієнта в’язкості [] = ML^-1T^-1 і коефіцієнта проникності [k] = L² незалежні, а розмірності швидкості [] = LT^-1, густини [] = ML^-3 та тиску [p] = ML^-1T² залежні, бо розмірність тиску дорівнює добутку розмірності густини на квадрат розмірності швидкості.

 - теорема дає змогу значно зменшити трудомісткість експерименту щодо визначення шуканої залежності, тобто відшукується зв’язок не поміж n окремими фізичними змінними, а між (n-S) безрозмірними комплексами. Наприклад, для встановлення залежності між сімома фізичними величинами треба виміряти функцію (значину одної величини) нехай для п’яти значин кожного аргументу (решти величин), тобто здійснити всього 5⁶ (або 15625) вимірювань. Але серед них три величини мають незалежні розмірності. Тоді вже достатньо виконати лише 5³ (або 125) вимірювань, тобто в 125 разів менше.

Суть методу аналізу розмірностей полягає в такому. В ході практичної реалізації методу аналізу розмірностей приймаються два припущення: 1) завчасно відомо, від яких параметрів процесу та змінних величин залежить розглядувана фізична величина; 2) зв’язок між усіма суттєвими для досліджуваного процесу фізичними величинами виражається у вигляді степеневого многочлена.

У найпростішому випадку в рівняння зв’язку підставляють розмірності фізичних величин, що входять у нього, і досягають розмірної однорідності. Покажемо це на прикладах виведення лінійного і нелінійного законів фільтрації.

Виведення закону Дарсі. Припустимо, що не знаючи закону, якому підлягає рух рідини, на основі практичних даних можна передбачити залежність швидкості фільтрації  від коефіцієнта проникності k, динамічного коефіцієнта в’язкості  і градієнта тиску grad p. Тоді записуємо залежність у вигляді степневого многочлена

, (2.6)

або через розмірності

, (2.7)

звідки відповідно для степенів L, T, M складаємо рівняння:

. (2.8)

Знаходимо із системи рівнянь, що c=1, b=1, a=1. Тоді маємо:

, (2.9)

тобто одержуємо закон Дарсі.

Виведення нелінійного закону. Загальний випадок проілюструємо на прикладі інерційного руху ізотермічного потоку нестисливої рідини в пористому середовищі. Аналогічно припускаємо, що швидкість фільтрації  залежить від градієнта тиску grad p, коефіцієнта динамічної в’язкості  і густини  рідини, середнього діаметра пор d і коефіцієнта пористості m. Серед цих величин маємо два вектори. Для ізотропного середовища вектор швидкості  повинен збігатися з вектором градієнта тиску grad p. Тоді з метою спрощення можемо зразу записати:

, (2.10)

де A – скалярна величина, що залежить від модуля вектора швидкості  і величин , , d, m. Тобто, вже шукаємо функціональну залежність

(2.11)

або у формі добутку степенів основних змінних

. (2.12)

Якщо поділимо рівняння (2.11) або (2.12) на цей добуток степенів, то залежна змінна A перетвориться на безрозмірну залежну змінну (безрозмірний комплекс) :

(2.13)

або

, (2.14)

де c – безрозмірний постійний коефіцієнт; , , , , ,  – показники степенів.

Розмірність змінної A встановлюємо із рівняння (2.10), записавши для нього рівняння розмірностей:

, (2.15)

звідки складаємо рівняння для степенів L, T, M:

. (2.16)

Знаходимо x = 1, y = -3, z = -1, тобто [A] = ML^-3T^-1.

Розмірності інших величин виражаємо так:

[] = LT^-1, або [м/с];

[] = ML^-1T^{-1, або}

[d] = L, або [м];

[] = ML^-3, або [кг/м³];

[m] = 1.

Оскільки коефіцієнт пористості m – безрозмірна величина, то маємо ще один безрозмірний комплекс _ = m.

Показники степенів у розмірностях змінних об’єднуються в матрицю розмірностей:

(2.17)

За елементами матриці можна розрахувати показники степенів , , , , , склавши лінійну однорідну систему рівнянь:

(2.18)

Кількість безрозмірних комплексів згідно з  - теоремою в разі п’яти невідомих і трьох основних величин з незалежними розмірностями має дорівнювати двом. Тому для визначення виду кожного з них довільно (за доцільністю) вибираємо значини трьох показників степеня.

Для визначення першого безрозмірного комплексу (або визначуваного критерію) необхідно взяти = 1, бо A є шуканою величиною. Покладемо також  = 0. Тоді розв’язок системи (2.18) дає  = -1,  = 0,  = 2.

За  = 0 та  = 1 одержуємо  = -1,  = 1,  = 1. У результаті маємо матрицю розв’язку:

(2.19)

Окремі рядки матриці (2.19) дають безпосередньо два безрозмірні комплекси:

. (2.20)

Отже, залежність (2.11) у критеріальній формі матиме такий вигляд:

(2.21)

або

, (2.22)

де константу c і показники степенів p і q шукають експериментально.

З виразу (2.22) можна записати лінійний і нелінійний закони фільтрації. Припустимо, що p = 0, а Тоді вираз (2.22) запишеться

, (2.23)

звідки з врахуванням рівнянь (2.20) знаходимо

, (2.24)

якщо прийняти (чи позначити) коефіцієнт проникності Тобто, кінцево згідно з рівнянням (2.10) маємо закон Дарсі:

. (2.25)

Тут ми нехтували безрозмірним комплексом _, що являє собою критерій Рейнольдса, який враховує інерційні сили, тобто _ = Re. Урахувавши всі знайдені критерії, з виразів (2.21) і (2.22) можна записати:

. (2.26)

Якщо скористатися формулою скінченних приростів Лагранжа за малих значин то функцію f₂ можна записати так:

. (2.27)

За f₂ (0, m)=1 маємо:

, (2.28)

оскільки коефіцієнт проникності (див. вище). Позначивши що є деякою функцією коефіцієнта пористості т, дістаємо згідно з рівнянням (2.10) двочленну формулу нелінійного закону (див. (1.3)):

. (2.29)