14.3 Визначення втрат теплоти через покрівлю та підошву пласта

Якщо в пласті є підвищена (чи понижена) температура порівняно з геотермічною температурою, то має місце потік теплоти через покрівлю і підошву цього пласта. Для визначення щільності цього потоку задачу спрощують. Найчастіше приймають, що потік теплоти відбувається тільки в напрямі, перпендикулярному до напластування. Розрахунок виконують, використовуючи один з двох наступних підходів.

1. Перший підхід, запропонований Е. Б. Чекалюком із співробітниками 1954 року, грунтується на припущенні про квазістаціонарність теплового потоку. В основі його лежить закон теплопередачі Ньютона:

, (14.13)

де q₀ – щільність потоку теплоти через одиницю площі покрівлі (підошви) пласта; а – коефіцієнт теплопередачі, який залежить від термічних властивостей порід; Т – температура пласта; Т₀ – початкова температура навколишніх порід. При цьому теплопровідний потік у горизонтальному напрямі відсутній. Коефіцієнт теплопровідності можна розглядати також як функцію часу.

2. Другий, найбільш поширений підхід запропонував Ловер’є 1955 року. Схема Ловер’є передбачає, що продуктивний пласт має безмежно велику теплопровідність по вертикалі (так звана “схема зосередженої ємності”), а передача теплоти від продуктивного пласта до навколишніх порід здійснюється за рахунок їх теплопровідності по вертикалі. Теплопровідністю пласта й навколишніх порід у горизонтальному напрямі також нехтують. Ця схема придатна для випадків досить швидкого прогрівання пласта.

Тоді, оскільки конвективний потік відсутній (швидкість фільтрації ), з рівняння енергії (14.12), дістаємо диференціальне рівняння теплопровідності:

(14.14)

або, перетворюючи та перепозначаючи величини,

, (14.15)

де z – вертикальна просторова координата; - коефіцієнт температуро­провідності навколишніх порід; ₀, с₀ – коефіцієнт теплопровідності та питома об’ємна теплоємність навколишніх порід.

Рівняння теплопровідності (14.16) за формою запису збігається з відповідним диференціальним рівнянням пружного режиму (диференціальним рівнянням п’єзопровідності) стосовно до прямолінійно-паралельного потоку. Для його розв’язування можна задати різні початкові та граничні умови. Візьмемо для прикладу такі умови.

Нехай у початковий момент часу температура породи постійна і дорівнює Т₀, на межі з продуктивним пластом (за ) температура також постійна і дорівнює Т_пл, причому , тобто

(14.16)

У такій постановці розв’язок нам уже відомий (див. підрозд. 9.3); його записуємо так (тиски формально замінено температурою):

, (14.17)

де додаткова функція похибок ; .

Диференціюючи рівняння (14.17) і підставляючи знайдений градієнт температури у закон теплопровідності Фур’є, одержуємо вираз для щільності потоку теплоти q на одиницю площі покрівлі :

. (14.18)

Якщо умови взяти дещо складнішими,

(14.19)

то розв’язок рівняння (14.15) можна дістати, наприклад, з допомогою перетворення Лапласа.

14.4 Температурне поле нетеплоізольованого пласта в разі плоско-радіальної фільтрації нестисливої рідини

Під поняттям нетеплоізольований пласт розуміють наявність теплового потоку через його покрівлю і підошву у вище- і нижчезалеглі товщі гірських порід. Таку постановку задачі можна назвати “точною”.

Позначаємо:

– коефіцієнти теплопровідності для продуктивного пласта й навколишніх порід у горизонтальному напрямі;

– те саме, але у вертикальному напрямі;

– швидкість фільтрації рідини;

Q – об’ємна витрата рідини;

h – товщина продуктивного пласта;

r – біжучий радіус осесиметричного потоку (у випадку одної свердловини).

Тоді для продуктивного пласта диференціальне рівняння енергії (14.11) після виконання векторних операцій div і у циліндричних координатах записуємо так:

, (14.20)

причому .

Для навколишніх порід, в яких фільтрація рідини відсутня (витрата ), маємо диференціальне рівняння теплопровідності:

, (14.21)

де для порід вище покрівлі пласта і для порід нижче підошви пласта, тобто тут вертикальна координата z відраховується від підошви продуктивного пласта.

Граничні та початкові умови для рівнянь (14.20) і (14.21) записуємо стосовно свердловини, а також стосовно покрівлі й підошви пласта. Стосовно свердловини в продуктивному пласті можуть бути взяті такі умови:

. (14.22)

На покрівлі і на підошві продуктивного пласта граничними умовами можуть бути умови безперервності температури і теплового потоку.

Розв’язок такої задачі одержують різницевими методами з використанням ЕОМ.