14.2 Диференціальне рівняння енергії пластової системи

Для гідродинамічного описування фільтрації з метою врахування зміни стану і властивостей флюїдів необхідно ввести нову невідому змінну – температуру Т. А для того, щоб система рівнянь для однофазного чи багатофазного потоку була замкнутою (тобто розв’язувалась), треба ввести додатково ще одне рівняння (термодинамічне) – рівняння енергії пластової системи. Воно виражає закон збереження енергії (перший закон термодинаміки).

Під час вивчення енергетичного стану пластів у загальному випадку треба враховувати зміну в пластах повної енергії, яка охоплює:

а) внутрішню енергію порід і насичуючих флюїдів;

б) конвективне і теплопровідне перенесення теплоти (підведення і відведення теплоти);

в) потенціальну енергію положення та кінетичну енергію;

г) виконувану флюїдами роботу.

Виведемо спрощене рівняння енергії, яке найчастіше використовується в розрахунках, для чого введемо деякі припущення. Обмежимося одновимірною задачею, приймемо пласт горизонтальним (зміна потенціальної енергії дорівнює нулю), нехтуємо зміною кінетичної енергії (внаслідок її малості через малі швидкості руху), а також припливом теплоти від в’язкого тертя. Тоді рух однорідної пружної рідини в пористому середовищі пов’язаний з такими переміщеннями теплової енергії:

а) конвективним перенесенням теплоти;

б) теплопровідним (кондуктивним) перенесенням теплоти;

в) дросельним ефектом (робота, що виконується системою, перетворюється на теплоту, яка залишається в системі);

г) адіабатичним ефектом (зовнішня робота здійснюється за рахунок зменшення внутрішньої енергії системи, тобто під час розширення системи вона, як правило, охолоджується);

ґ) теплообміном між рідиною та пористим тілом.

Теплообмін між рідиною та пористим середовищем відбувається надзвичайно швидко (до 1 с) через наявність величезної поверхні контакту між ними (поверхні теплообміну між рідиною і пористим середовищем), тому під час розгляду процесів розробки нафтових родовищ приймають температури рідини і скелету породи однаковими.

Дросельний ефект (або ефект Джоуля – Томсона) призводить до зміни температури рідини вздовж шляху фільтрації. Усталену зміну температури рідини (газу) за зміни тиску можна визначити за формулою

, (14.3)

де – інтегральний коефіцієнт Джоуля – Томсона. Для води він дорівнює -0,235 К/МПа (в інтервалі від -0,18 до -0,22 К/МПа), для нафти дорівнює -(0,4-0,6) К/МПа, для вуглеводневого газу становить +(0,15-2,5) К/МПа. Якщо перепад тиску  = 10 МПа, то зміна температури нафти  = 4-6 К (нагрі­вання), води  = 2,35 К (нагрівання), а для вуглеводневого газу  = –(15-25) К (охолодження). Але такі перепади тиску можуть бути створені лише на великій довжині пласта, тому під час розгляду процесів розробки покладів у цілому внаслідок незначної зміни температури за існуючих перепадів тиску дросельним ефектом, як правило, нехтують. Оскільки основна частка депресії тиску витрачається у привибійній зоні, то там мають місце локальні термодинамічні зміни, які можуть спричинити, наприклад, випадання парафіну.

У разі адіабатного розширення (в ізольованих системах) речовина, як правило (за винятком води за температур від 0 до +4 С), охолоджується. Зниження температури можна оцінити за формулою:

, (14.4)

де – інтегральний адіабатний коефіцієнт. Для води він дорівнює 0,015 К/МПа, для нафти 0,137 К/МПа і для повітря 8,3 К/МПа (за тиску 0,1 МПа і температури 293 К). Якщо тиск зменшиться на 10 МПа, то адіабатне охолодження нафти дуже незначне (1,37 К), тому адіабатним ефектом також нехтують.

Зміна теплоти в цілому становить під час дроселювання

і під час адіабатного розширення

,

де с – питома об’ємна теплоємність рідини; m–коефіцієнт пористості. Наголосимо, що обидва ефекти стосуються тільки флюїдів, а будь-яка зміна їх температури неминуче пов’язана з теплообміном між ними і пористим середовищем. Отже, викликані ними зміни температури всієї пластової системи несуттєві.

Таким чином, зміна внутрішньої енергії системи визначається конвективним і теплопровідним перенесеннями теплоти.

Для виведення рівняння енергії виділяємо в пористому середовищі циліндричний елемент довжиною dх і площею поперечного перерізу F. Елемент містить рідину і твердий скелет породи.

Внутрішня енергія Е_ел цього елемента складається із внутрішніх енергій маси рідини Е_р і скелету породи Е_ск:

, (14.5)

де т – коефіцієнт пористості; , _ск – густина відповідно рідини і скелету породи.

Оскільки внутрішні енергії , , а добутки , , то

,

звідки одержуємо зміну внутрішньої енергії за одиницю часу

, (14.6)

де – питомі масові теплоємності рідини та скелету; с, с_ск – питомі об’ємні теплоємності рідини та скелету; Т – температура рідини та скелету; t – час; – питома об’ємна теплоємність насиченого пористого середовища.

Конвективне перенесення теплоти, тобто перенесенння разом з рухомими частинками рідини, через одиницю площі описуємо щільністю теплоконвективного потоку

або

, (14.7)

де q_к – щільність теплоконвективного потоку; v – швидкість фільтрації рідини.

Теплопровідне перенесення теплоти, тобто за рахунок теплопровідності, що не пов’язано з переміщенням об’ємів рідини, визначається за законом Фур’є:

, (14.8)

де – щільність теплопровідного потоку;  – коефіцієнт теплопровідності насиченого пористого середовища.

Загальна щільність потоку теплоти (через одиницю площі) дорівнює сумі щільностей теплоконвективного і теплопровідного потоків:

. (14.9)

Зміна теплоти в елементі складає (див. підрозд. 3.1 для повторення):

. (14.10)

Прирівнюючи зміну внутрішньої енергії (14.6) і зміну теплоти (14.10), дістаємо шукане диференціальне рівняння енергії пластової системи:

або

. (14.11)

Одержане рівняння (14.11) можна узагальнити на випадок тривимірного руху, а саме:

. (14.12)

Рівняння (14.11) або (14.12) ще називають диференціальним рівнянням теплового балансу, що пов’язано з названими вище припущеннями.

Якщо в пористому середовищі є джерело теплоти (під час внутрішньопластового горіння чи окислення), то в рівнянні теплового балансу аналогічно вводиться доданок, який характеризує інтенсивність тепловиділення. За наявності багатофазної багатокомпонентної системи записуються зміни внутрішньої енергії та потоки теплоти для кожної компоненти в кожній фазі і ці складові підсумовуються відповідним чином по компонентах і по фазах.

Рівняння енергії розв’язується в сукупності, наприклад, для однофазного потоку, з рівняннями нерозривності потоку, руху і стану, що дає змогу визначити тиск р, вектор швидкості фільтрації і температуру Т в пласті.

Далі виконаємо аналіз цього рівняння для деяких окремих випадків.