12.4 Модель Рапопорта - Ліса

Модель двофазної фільтрації з урахуванням капілярних сил називають моделлю Рапопорта – Ліса. Для одновимірного витіснення нафти водою без урахування сили гравітації таку модель запропонували Л.Рапопорт і В.Ліс 1953 року (рівняння Рапопорта – Ліса), тобто

. (12.79)

Якщо в моделі Баклея – Леверетта капілярні сили побічно враховуються через коефіцієнти фазових проникностей, то в моделі Рапопорта – Ліса стрибок капілярного тиску задається у вигляді експериментальної функції насиченості (функції Леверетта).

Модель Баклея – Леверетта, враховуючи фазові проникності для нафти і води, які певним чином залежать від капілярних сил, все-таки не дає змоги описати процеси фільтрації незмішуваних рідин, коли сам рух рідин зумовлюється дією капілярних сил.

Дія капілярних сил проявляється в основному поблизу фронту витіснення, де градієнти насиченості дуже великі. Аналіз показує, що капілярні сили “розмазують” фронт, тому в разі їх урахування стрибок насиченості відсутній, а насиченість водою змінюється безперервно до насиченості зв’язаною водою.

Експериментами було виявлено, що за постійної швидкості витіснення розподіл насиченості в перехідній зоні поблизу фронту витіснення не змінюється в часі, тобто утворюється так звана стабілізована зона. Вона переміщається, не змінюючи своєї форми. Рух у стабілізованій зоні відповідає граничному розв’язку рівняння (12.76), коли розподіл насиченості не залежить від граничних умов. Розподіл насиченості у стабілізованій зоні є усталеним (рис. 12.7), тобто не залежить від часу. Позаду стабілізованої зони розподіл насиченості описується моделлю Баклея – Леверетта.

Знайдемо розв’язок рівняння (12.76) стосовно прямолінійно-паралельного потоку. Вводимо швидкість руху фронту витіснення . Робимо заміну змінних

, (12.80)

а відтак шукаємо розв’язок (12.76) у вигляді:

. (12.81)

Відповідно до цього перетворюємо рівняння (12.79), знайшовши із рівняння (12.81)

, (12.82)

тобто

. (12.83)

Інтегруючи рівняння (12.83) по u, отримуємо:

, (12.84)

де с – постійна інтегрування.

Оскільки позаду стабілізованої зони зміна насиченості описується моделлю Баклея-Леверетта, а рух у перехідній зоні є усталеним з координатою u, то граничні умови мусять бути такими:

, (12.85)

де s_ф і s₀ – насиченості відповідно за і перед стрибком насиченості, які пов’язані між собою співвідношенням (12.67), причому .

Тоді із рівняння (12.84) знаходимо постійну інтегрування

, (12.86)

а друга умова (12.85) виконується автоматично, так як s_ф і s₀ пов’язані між собою.

Із рівняння (12.84) з урахуванням виразу (12.86) знаходимо

(12.87)

Проінтегрувавши рівняння (12.87) по u від u₁ до u та відповідно по s від s₁ до s, де , і врахувавши, що , отримуємо розв’язок рівняння (12.79) у вигляді:

. (12.88)

Рівняння (12.88) описує розподіл насиченості в перехідній зоні нескінченної довжини, що є наслідком умов (12.85), а значить відсутні точки змикання отриманого розв’язку з розподілом Баклея-Леверетта.

Якщо взяти значини насиченостей не рівні s_ф і s₀, а близькі до них, то виявляється, що ширина перехідної зони є пропорціональною величині

(12.89)

або

. (12.90)

Зауважуємо, що рівняння (12.76) має також, окрім розв’язку (12.88), точні автомодельні розв’язки, які існують за спеціально вибраної сумарної швидкості .

Модель Рапопорта - Ліса дає змогу описати процеси фільтрації незмішуваних рідин, коли сам рух рідин зумовлений дією капілярних сил, зокрема процеси прямоплинного та протиплинного капілярного просочування (рис. 12.8).

У разі протиплинного капілярного просочування нафта у взірці гідрофільного пористого середовища, який занурено у воду, під дією капілярних сил заміщається водою, причому рух їх відбувається в протилежних напрямах. Вода входить дрібними порами, а нафта виходить більшими порами, вспливаючи на поверхню води.

У разі прямоплинного капілярного просочування насичений нафтою взірець гідрофільного пористого середовища всмоктує воду з одного кінця, а нафта виходить із взірця через другий кінець. Відзначаємо, що може спостерігатися і комбіноване (прямоплинно - протиплинне) просочування.

Виникає питання про області застосування моделей Баклея – Леверетта та Рапопорта – Ліса. Область застосування моделі Баклея – Леверетта одержується із моделі Рапопорта – Ліса, коли . Величину називають капілярним числом (зазначимо, що відомо багато різних записів капілярного числа). Оскільки

,

то величина в першу чергу визначається характерним розміром L області фільтрації. Оцінимо величину капілярного числа . Приймаємо:  = 25 мН/м (для нафти і води); cos = 1; ₂ = 2,5 мПас; т = 0,1; k = 10^-13 м²; v = 10^-5 м/с. Тоді

.

Якщо L = 0,1 м (лабораторний керн чи фронт витіснення), то  1, а в разі L = 10² – 10⁴ м (відстань між свердловинами в пласті) = 10^-3 – 10^-5. Тобто в разі великомасштабного розгляду двофазної фільтрації між свердловинами можна нехтувати капілярними силами і приймати модель Баклея – Леверетта. Для вивчення розподілу насиченості на фронті витіснення необхідно врахувати капілярні сили, використовуючи модель Рапопорта – Ліса. Звідси випливає, що загально прийнята теорія двофазної фільтрації, в основі якої лежить модель Баклея – Леверетта, є асимптотичною теорією, бо відповідає малим значинам капілярного числа.

Силою гравітації (ваги) можна нехтувати, якщо , оскільки гравітаційне число , то цьому відповідає умова .