12.3 Модель Баклея – Леверетта

Задача двофазної фільтрації без урахування капілярних сил відома як задача (модель) Баклея – Леверетта. Цю модель для випадку одновимірної фільтрації одержуємо з рівняння (12.38) за , тобто

(12.48)

або

.

Рівняння (12.48) належить до класу квазілінійних рівнянь першого порядку, які звичайно розв’язуються методом характеристик.

Вперше цю модель запропонував С.Баклей і М.Леверетт 1942 року для одновимірного витіснення нафти водою без урахування сил гравітації ( ) у вигляді (рівняння Баклея-Леверетта):

(12.49)

або

,

чи

, (12.50)

де ; .

У цьому рівнянні змінні  і  мають фізичний зміст безрозмірних об’ємів і називаються відповідно просторовою та часовою змінними.

Незалежні змінні  і , які визначаються із формул (12.38) і (12.41) відповідно для прямолінійно-паралельного і плоско-радіального потоків, можна подати в єдиній формі для цих одновимірних потоків і поширити на загальний випадок, коли сумарна „питома” витрата q фаз залежить від часу, тобто

; , (12.51)

де L – характерний лінійний розмір; n – параметр, причому n = 1 для прямолінійно-паралельного потоку і n = 2 для плоско-радіального потоку, а для останнього випадку x = r i L = R_к; r – відстань від центра нагнітальної свердловини до розглядуваної точки пласта; R_к – радіус контура пласта; q(t) = v(t) і q(t) = Q(t) / (2πh) відповідно для прямолінійно-паралельного і плоско-радіального потоків; v(t) – сумарна швидкість фільтрації фаз; Q(t) – сумарна об’ємна витрата фаз; m – коефіцієнт пористості пласта; h – товщина пласта.

Таке подання змінних  і  дає змогу поширювати рівняння (12.50) і його розв’язки на прямолінійно-паралельний і плоско-радіальний потоки.

Функцію , як уже вказувалося, називають функцією Баклея-Леверетта, або функцією розподілу потоків фаз. Її фізичний зміст пояснюється так. Якщо домножити чисельник і знаменник у рівнянні (12.37) на (нагадаємо, що капілярні сили не враховуються), то дістанемо

, (12.52)

звідки

, (12.53)

або

, (12.54)

тобто дорівнює частці витіснювальної рідини (води) в потоці.

Типовий графік функції і її похідної показано на рис. 12.1, б. Залежність функцій і від відношення динамічних коефіцієнтів в’язкостей води і нафти подано на рис. 12.3. Характерною особливістю графіка є наявність точки перегину s_п з ділянками вгнутості і випуклості.

З використанням функції Баклея-Леверетта знаходимо швидкість фільтрації води v₁ відповідно для прямолінійно-паралельного і плоско-радіального потоків

; , (12.55)

а швидкість фільтрації нафти

. (12.56)

Для розрахунку параметрів двофазного потоку до рівняння (12.50) треба додати початкову та граничну умови:

(12.57)

Перша умова (12.54) означає, що в початковий момент часу ( ), тобто до початку процесу витіснення в пласті мав місце відомий розподіл насиченості s водою, що описується функцією . Можна було б задати . Друга умова (12.54) означає, що на початку пласта ( ), тобто на лінії водонагнітальної галереї, за часу насиченість водою зростає, що описується функцією , хоч те ж можна задати .

Рис. 12.3. Графіки функцій f(s) Баклея-Леверетта (а) і її похідної f’(s) (б) для різних відношень динамічних коефіцієнтів в’язкостей

У процесі витіснення нафти водою насиченість s в якій-небудь фіксованій точці пласта змінюється з часом. Разом з тим точки, в яких насиченість дорівнює якій-небудь фіксованій значині (точніше площина), переміщуються з часом у напрямі руху рідини. Цю насиченість s=const називають характеристикою рівняння (12.50) (метод розв’язування називають методом характеристик). У такому розумінні рівняння (12.50) є рівнянням руху площини з постійною насиченістю. Для визначення швидкості руху площини з постійною насиченістю можна записати:

, (12.58)

або

, (12.59)

звідки

, (12.60)

оскільки .

Із рівняння Баклея – Леверетта (12.50) маємо:

. (12.61)

Прирівнюючи рівняння (12.60) і (12.61), дістаємо рівняння швидкості переміщення площини з постійною насиченістю:

або

. (12.62)

Із рівняння (12.60) записуємо

,

а підставивши в рівняння Баклея – Леверетта (12.50), доходимо знову до рівняння (12.62), тобто еквівалентною рівнянню (12.50) в частинних похідних є система звичайних диференціальних рівнянь першого порядку (12.58) і (12.62), які називаються умовами на характеристиках.

Формальний розв’язок цієї системи рівнянь (12.58) і (12.62) за початкової і граничної умов (12.57) або розв’язок рівняння (12.62) для характеристики , що є розв’язком рівняння (12.58), можна записати:

(12.63)

або за

, (12.64)

де – початковий розподіл насиченості для (еквівалентно першому рівнянню умови (12.57)).

Задаючись значинами , із рівняння (12.64) визначаємо координату  , де насиченість становить величину s.

Профіль насиченості зручно подати у вигляді залежності насиченості s від безрозмірної просторової координати

, (12.65)

де – об’єм частини пласта, що обмежується координатою х; – сумарний об’єм води, що увійшла в пласт.

Тоді в кінцевому підсумку розв’язок (12.64) записуємо так:

. (12.66)

Для безпосереднього розрахунку, маючи експериментальні залежності відносних коефіцієнтів проникностей і від насиченості пор водою s (див. рис. 12.1, а), можна, використовуючи вираз (12.37), побудувати спочатку функцію , потім графічним диференціюванням – (див. рис. 12.1, б). Оскільки , то відповідно відразу маємо графік розподілу насиченості s уздовж координати  (див. рис. 12.1, в), що ідентичний графіку рис. 12.1, б.

Із рис. 12.1, в видно, що насиченість s у кожній точці пласта і в кожний момент часу t є двозначною. Фізично це є абсурдом – у кожній точці в кожний момент часу має існувати тільки одна цілком визначена насиченість. Звідси випливає, що залежність насиченості s від координати  справедлива тільки до деякої значини і для значина насиченості s має змінюватися стрибком від до , де s_зв – вміст (насиченість) зв’язаної води; s_ф – насиченість водою в точці .

Отже, для усунення двозначності припускаємо існування стрибка насиченості (s – стрибок) і вводимо поняття фронту витіснення, а безрозмірна координата є координатою фронту витіснення, причому

. (12.67)

Можна показати, що насиченість пор водою на фронті витіснення

(12.68)

звідки

. (12.69)

Співвідношення (12.69) виражає тангенс кута нахилу дотичної, проведеної з точки , до кривої , тоді абсциса точки дотику Д дорівнює насиченості водою s_ф на фронті витіснення.

Графічно безрозмірну координату і насиченість водою на фронті s_ф можна визначити з умови рівності площ, заштрихованих на рис. 12.1, в горизонтальними лініями. Зазначаємо, що на рис. 12.1, в s_н і s_нф означають насиченості породи рухомою нафтою в зоні витіснення (у водонафтовій зоні) і на фронті витіснення.

Фізичною особливістю моделі Баклея-Леверетта є залежність швидкості поширення площини з насиченістю s від величини тієї ж насиченості s згідно з рівнянням (12.59). Таке явище називається дисперсією хвиль (нагадаємо, що дисперсія – це розсіяння, подрібнення). Так, у рівнянні (12.59) є функцією s. Як видно з рис. 12.2, б чи 12.3, функція зростає за , а значить, площини більших насиченостей поширюються з більшими швидкостями. За відповідно швидкість поширення площини постійної насиченості починає зменшуватися ( зменшується). Тобто, більші значини насиченості „наздоганяють” менші значини і в деякий момент відбувається „перекидання” хвилі насиченості, а графік стає неоднозначним (рис. 12.4). Така неоднозначність і усувається введенням стрибка насиченості.

Якщо в початковий момент часу за насиченість , причому (слабко обводнений пласт), то виникає стрибок насиченості (рис. 12.5, а). Якщо ж за таких же умов (високообводнений пласт), то стрибок насиченості відсутній (див. рис. 12.5, б).

Середня водонасиченість s_с у зоні витіснення до прориву води із пласта дорівнює коефіцієнту нафтовилучення, точніше коефіцієнту витіснення , який подаємо так:

. (12.70)

Нагадуємо, що коефіцієнт нафтовилучення – це відношення кількості відібраної нафти до початкового запасу в покладі, а коефіцієнт витіснення – це відношення об’єму нафти, витісненої з області пласта, що зайнята водою, до початкового об’єму нафти у цій самій області. Рівність об’ємів запомпованої в пласт води і витісненої звідти нафти записуємо так:

,

звідки

, (12.71)

тобто інтеграл у рівнянні (12.71) (площа, заштрихована на рис. 12.1, в вертикальними лініями) дорівнює одиниці. Тут V_ф – об’єм пласта в зоні витіснення, а . Тоді

, (12.72)

або

. (12.73)

Вираз (12.73) має таку геометричну інтерпретацію. Якщо продовжити дотичну до кривої f(s) (див. рис. 12.1, б), яка визначає насиченість s_ф на фронті витіснення, до перетину в точці П з горизонтальною прямою f(s) = 1, то абсцисса точки П визначає середню водонасиченість s_с в зоні витіснення, причому s_с = η_в.

Коефіцієнт безводного нафтовилучення записуємо так:

. (12.74)

Чисельник у рівнянні (12.74) інтегруємо частинами і знаходимо:

, (12.75)

де враховано, що із виразу (12.64), , – найбільша (максимальна) водонасиченість на лінії нагнітання води.

Оскільки за рівнянням (12.67)

(12.76)

та із рівняння (12.66)

, (12.77)

то підставляючи рівняння (12.75) у рівняння (12.74), знаходимо коефіцієнт безводного нафтовилучення

або

. (12.78)

Звідси, враховуючи рівняння (12.37), виснуємо, що коефіцієнт безводного нафтовилучення збільшується із зростанням співвідношення динамічних коефіцієнтів в’язкостей , тобто зі збільшенням динамічного коефіцієнта в’язкості витіснювальної фази (води) і (або) зменшенням динамічного коефіцієнта в’язкості витіснюваної фази (нафти).

Для наочності розподіл насиченості водою s вздовж координати х на різні моменти часу t, причому , показано на рис. 12.6, оскільки .