12 Основи теорії фільтрації багатофазних систем у пористих пластах

Ми припускали в розд. 11, відповідно до прийнятої схеми поршневого витіснення, що в зоні витіснення насиченість нафтою дорівнює залишковій нафтонасиченості, нафта нерухома, а рухається тільки вода. У дійсності картина складніша, має місце непоршневе витіснення.

Непоршневе витіснення нафти – це витіснення, за якого в зоні витіснення одночасно рухаються витіснювальний і витіснюваний флюїди, тобто за фронтом витіснення має місце рух багатофазної системи.

Багатофазна (гетерогенна) система складається з кількох фаз, кожна з яких є однорідною (гомогенною) і відокремленою від інших фаз чіткими межами. Прикладом багатофазної системи є суміш нафти, газу та води. Підкреслимо, що нафта й газ є багатокомпонентними (складаються їх суміші з різних вуглеводнів, що взаємодіють на молекулярному рівні), причому може мати місце перехід компонентів з одної фази в іншу (наприклад, із рідини в газ).

12.1 Основні диференціальні рівняння фільтрації багатофазних систем

Рівняння руху. Рівняння руху в разі фільтрації багатофазних систем, наприклад суміші нафти і води, які знаходяться в термодинамічній рівновазі, можна записати як узагальнення закону Дарсі, справедливість чого доведена експериментально:

; (12.1)

(12.2)

або з урахуванням масових (гравітаційних) сил

(12.3)

, (12.4)

де Q_і – об’ємна витрата і-тої фази; індекси і = 1, 2 – номери фаз (відповідно води і нафти); k – коефіцієнт абсолютної проникності пласта; – відносний коефіцієнт проникності (або ще кажуть відносна фазова проникність); s_і - насиченість пор і-тою фазою; _і – динамічний коефіцієнт в’язкості фази; _і – густина фази; p_і – тиск в і-й фазі; Х – проекція прискорення масових сил на напрям руху х (у полі сил гравітації ;  - кут нахилу осі х до горизонту); - площа фільтрації як функція координати х.

Припускаємо наявність двох фаз. Тоді очевидно, що

, (12.5)

, (12.6)

тобто s₁ однозначно визначає s₂.

Відносний коефіцієнт проникності залежить від багатьох чинників (наприклад, від відношення коефіцієнтів в’язкостей, впливом яких нехтують), але в основному він є функцією насиченості (згадаймо графіки Вікова-Ботсета), тоді

; , (12.7)

де - насиченість витіснювальною фазою (водою).

Нагадуємо, що для кожної фази існує гранична насиченість, коли за менших значин насиченості ця фаза є нерухомою. Так, для водонафтової суміші рух першої фази – води – може відбуватись тільки тоді, коли насиченість водою s > s_зв, а другої фази – нафти – коли s < (1-s_зн), де s_зв – насиченість зв’язаною водою; s_зн - насиченість залишковою нафтою (залишкова нафтонасиченість). Отже, спільний рух двох фаз має місце лише в такому інтервалі зміни насиченості водою (рис. 12.1, а):

s_зв < s < (1-s_зн),

а в цьому інтервалі сума відносних коефіцієнтів проникностей для кожної фіксованої значини водонасиченості s є меншою одиниці:

Графіки являють собою асиметричні криві, із аналізу яких випливає, що присутність нерухомої змочувальної фази (води) мало впливає ( ) на рух незмочувальної фази (нафти), тоді як присутність залишкової незмочувальної фази (нафти) створює значний опір рухові змочувальної фази ( ).

Зміну відносних коефіцієнтів проникностей для води і нафти в залежності від водонасиченості s можна описати одними із наступних трьох типів наближених емпіричних залежностей (тип слід вибирати за експериментальними даними стосовно до конкретних умов і відповідно до характеру кривих):

а)		за ; за ; за ; за ;	(12.8)
		за ; за ; за ;	(12.9)
б)		за ; за ;	(12.10)
		за ; за ; за ;	(12.11)
в)		за ; за ;	(12.12)
		за ; за ,	(12.13)

де - водонасиченість, за якої відносний коефіцієнт проникності для нафти , ; n₁, n₂, n₃ – показники степенів, які можуть бути, наприклад, або n₁ = n₂ = n₃ = 1, n₁ = 4; n₂ = 1/2; n₃ = 2, або n₁ = 4; n₂ = 1/4; n₃ = 3/2, або n₁ = 2; n₂ = 1/2; n₃ = 2; а₁, а₂ – числові коефіцієнти (коефіцієнт а₂ визначаємо із умови, що , а коефіцієнт а₁ із умови, що , а водонасиченість s₁ задаємо відповідно як аргумент точки переходу кривої із ввігнутої на випуклу).

Відносні коефіцієнти проникностей для води ( ) і газу ( ) можна визначити за формулами (12.8) і (12.9), коли n₁ = n₂ = 1, n₃ = 4, або коли n₁ = 4; n₂ = 1/4; n₃ = 4, або взяти у вигляді:

	за ; за ;	(12.14)
	за ; за ,	(12.15)

де - насиченість газом, .

М.Маскет запропонував аналітичні вирази відносних коефіцієнтів проникностей для нафти ( ) і газу ( ):

; (12.16)

, (12.17)

де s₁, s₂ – насиченості нафтою і газом; s₁₀, s₂₀ – граничні величини нафто-газонасиченості за нерухомості відповідної фази; s_1М – „мертва” насиченість нафтою, яка не впливає на рухомість газу (наприклад, для Долинського нафтового родовища s₁₀ = 0,4; s₂₀ = 0,05; = 0,25).

У випадку одночасної фільтрації нафти, води і газу (трифазна фільтрація) можна поступити так. Спочатку беремо відомі коефіцієнти для двофазної фільтрації рідини (нафти та води) і газу, тобто і , де насиченість рідиною ; ; – водо- і нафтонасиченість. Відтак ураховуємо уже відносні коефіцієнти проникностей для води і для нафти , а тоді маємо для кожної фази: для води ; для нафти ; для газу , де s = s_в/s_р.

Тиски у фазах р₁ і р₂ не дорівнюють один одному через капілярні ефекти, вони пов’язані між собою рівнянням капілярного тиску:

, (12.18)

де – капілярний тиск.

Для визначення капілярного тиску використовуємо безрозмірну функцію , названу функцією Леверетта, яку одержують за експериментальними даними (рис. 12.2) для однонапрямленого процесу (витіснення або просочування) без урахування гістерезисних явищ і яка виражається так:

, (12.19)

звідки

, (12.20)

де  – крайовий кут змочування;  – поверхневий (міжфазний) натяг; т – коефіцієнт пористості.

Рівняння нерозривності фаз. Для виведення рівняння нерозривності розглянемо баланс першої фази. При цьому припускаємо, що рідини нестисливі, взаємно не розчинні й хімічно не взаємодіючі, а фільтрація ізотермічна в недеформівному пористому середовищі.

Зміна об’єму рідини за час як різниця на виході і вході в елемент пористого середовища довжиною

викликає зміну насиченості пор фазою за цей же час від s до . Оскільки об’єм пор дорівнює , то, записуючи баланс рідини (співвідношення між прибутками та витратами), одержуємо рівняння нерозривності потоку першої фази

,

або

, (12.21)

або

, (12.22)

де v₁ – швидкість фільтрації першої фази (води).

За аналогією для другої фази маємо рівняння нерозривності потоку другої фази

(12.23)

або

, (12.24)

де v₂ – швидкість фільтрації другої фази (нафти).

Рівняння нерозривності потоку можна відповідно (див. розділ 3) поширити на тривимірний потік, тобто

; (12.25)

. (12.26)

Рівняння стану. Рівняння стану тут не потрібно, бо ми прийняли для простоти систему нестисливою (флюїди та пласт недеформівні).

Отже, п’ять рівнянь – руху (12.3), (12.4), нерозривності (12.21), (12.23) та капілярного тиску (12.18) – складають замкнуту систему, що описує процес ізотермічної фільтрації нестисливої двофазної суміші, оскільки визначенню підлягають також п’ять невідомих .

Процеси фільтрації двофазних систем досліджують, використовуючи ці рівняння в рамках певних моделей, що відрізняються повнотою врахування окремих чинників.