11 Фільтраційні потоки з рухомими межами

11.1 Витіснення нафти водою

У разі водонапірного режиму роботи пласта нафта, яку відбирають з покладу, заміщається наступаючою водою. На сьогодні штучне заводнення нафтових покладів є основним і найбільш ефективним способом видобування нафти.

Приймемо схему поршневого витіснення. Поршневе витіснення нафти – це ідеальний випадок, коли в пласті між нафтою й водою існує чітка межа поділу, попереду якої рухається нафта, а позаду – тільки вода, тобто біжучий водонафтовий контакт (ВНК) збігається з фронтом витіснення.

Розглянемо у загальній постановці витіснення нафти водою з пласта змінного перерізу F(l), що показано на рис. 11.1, де k – коефіцієнт абсолютної проникності пласта; k´ – крефіцієнт проникності для води в зоні витіснення (k´ < k´); l', L – відстань від контура живлення з тиском p_к до початкового і біжучого положення ВНК та до лінії відбирання рідини; p_к, p₀, p′, p_с – тиски на лініях живлення, початкового й біжучого ВНК та відбирання; μ_в, μ_н – динамічні коефіцієнти в’язкості води та нафти; І, ІІ, ІІІ – зони відповідно водяна, витіснення, нафтова.

Рис. 11.1 – Схема поршневого витіснення нафти водою

Оскільки в часі змінюються області, зайняті водою та нафтою, коефіцієнти провідності яких різні, то в процесі витіснення змінюються фільтраційні опори, дебіт і тиск на ВНК. Цей неусталений процес подаємо як послідовну зміну стаціонарних станів.

Тоді для водяної зони витратe води за законом Дарсі записуємо так:

, (11.1)

звідки

. (11.2)

Інтегруючи від тиску p_к до тиску p₀ і від 0 до відстані l₀, дістаємо втрату тиску у водяній зоні

(11.3)

Аналогічно записуємо для решти зон. Внаслідок нерозривності потоку витрата нестисливих рідин усюди однакова і дорівнює Q. Загальну втрату тиску (p_к – p_с) одержуємо додаванням втрат тиску в окремих зонах, тобто

(11.4)

звідки отримуємо:

, (11.5)

де (l) – загальний фільтраційний опір,

. (11.6)

Якщо за час dt межа поділу пройде відстань dl, то відібрана кількість нафти Qdt заміститься такою ж кількістю води, а тоді рівняння матеріального балансу записуємо так:

, (11.7)

звідки отримуємо

(11.8)

(11.9)

де m – коефіцієнт пористості в зоні витіснення з урахуванням залишкової нафти.

Формули (11.5) і (11.9) є загальним розв’язком задачі. Звідси легко одержати частинні розв’язки:

а) для одновимірного витіснення, коли F(l)=F=const, dl=dx;

б) для плоско-радіального витіснення, коли F(l)=2rh, dl=-dr.

Із рівняння (11.9) можна визначити відстань l = l(t) та, підставляючи l(t) у рівняння (11.6) і використовуючи формулу (11.5), легко знайти витрату рідини Q = Q(t). Зазначимо, що перепад тиску (p_к–p_c) тут прийнято постійним.

Аналіз цієї залежності для випадку k′ = k, показує таке:

1. якщо μ_н > μ_в,то в часі Q зростає;

2. якщо μ_н < μ_в,то в часі Q зменшується;

3. якщо μ_н = μ_в,то Q = const.

Коли l′ = L, то з рівняння (11.9) одержуємо тривалість часу безводної експлуатації родовища. Ця тривалість часу прямо пропорціонально залежить від дебіту Q.

У разі витіснення нафти газом чи газу водою розв’язки можна значно спростити, якщо нехтувати втратами тиску під час руху в газовій зоні, а невідомий середній тиск у зоні руху газу визначити з рівняння матеріального балансу (маса видобутого газу дорівнює різниці мас газу в початковий і поточний моменти часу).

Цю задачу можна розширити на багатопластовий об’єкт розробки (див. підрозд. 5.2), коли окремі пласти (прошарки) гідродинамічно не сполучаються між собою (наприклад, розділені глинистими пропластками) і характеризуються різними проникностями. З рівняння (11.6) маємо, що чим більший коефіцієнт проникності пласта (k і відповідно k'), тим меншим є фільтраційний опір (l), а тоді із рівняння (11.9) випливає, що тим самим меншою є тривалість часу безводної експлуатації. Тобто вода швидко проривається у високопроникних пластах до лінії відбирання, обводнює продукцію, а в малопроникних пластах біжучий ВНК знаходиться ще далеко від лінії відбирання. Досвід розробки багатопластових об’єктів показує, що прошарки з проникністю у 5-10 разів меншою, ніж в інших, у разі сумісної експлуатації практично не працюють.