Контрольні питання

1. Виведіть основне диференціальне рівняння пружного режиму фільтрації.

2. Запишіть і поясніть основну формулу пружного режиму фільтрації. В яких практичних випадках її застосовують і з якими обмеженнями?

3. Як визначити відстань від свердловини до тектонічного порушення за даними зміни вибійного тиску у часі?

4. Коли застосовують метод Хорнера, а коли – метод дотичної?

5. Що таке скін-ефект і як його визначають?

10 Неусталена фільтрація газу в пористому пласті

10.1 Виведення диференціальних рівнянь неусталеної фільтрації газу за законом Дарсі

Диференціальне рівняння ізотермічної фільтрації стисливого флюїду в деформівному пласті має вигляд (див. підрозд. 3.5):

, (10.1)

а рівняння стану реального газу –

. (10.2)

Припустимо, що пласт недеформівний , а .

У результаті підстановки рівняння (10.2) в рівняння (10.1) отримуємо диференціальне рівняння неусталеної фільтрації реального газу в недеформівному пласті

. (10.3)

Ще додатково спростимо умови, прийнявши газ ідеальним ( ), а також . Тоді маємо диференціальне рівняння неусталеної фільтрації ідеального газу в недеформівному пласті у вигляді:

, (10.4)

а оскільки

; ; , (10.5)

то

(10.6)

або

. (10.7)

Оскільки

, (10.8)

то маємо також рівняння (10.7) ще й у такому вигляді:

. (10.9)

Одержане диференціальне рівняння неусталеної фільтрації ідеального газу у вигляді (10.7) або (10.9) називають рівнянням Лейбензона.

Рівняння Лейбензона (10.9), а також складніше рівняння неусталеної фільтрації реального газу (10.3) є нелінійним рівнянням у частинних похідних параболічного типу, яке не має точних аналітичних розв’язків навіть для найпростіших випадків. Тому його доводиться інтегрувати числовими методами.

10.2 Лінеаризація рівняння Лейбензона. Аналогія між неусталеною фільтрацією пружної рідини й газу

Лінеаризація рівняння означає зведення нелінійного рівняння до лінійного типу.

Раніше було показано, що у випадку усталеної фільтрації газу до свердловини лійка депресії тиску є дуже крутою і середній тиск у пласті практично дорівнює контурному тиску p_к. Виходячи з цього, Л.С. Лейбензон запропонував замінити змінний тиск p в коефіцієнті рівняння (10.9) на постійний контурний тиск p_к (метод лінеаризації за Лейбензоном). Тоді рівняння Лейбензона (10.9) стає лінійним відносно функції p²:

, (10.10)

або

, (10.11)

де – коефіцієнт п’єзопровідності пласта для газу.

І.А. Чарний для лінеаризації рівняння Лейбензона (10.9) запропонував змінний тиск p у коефіцієнті замінити середнім тиском, приймаючи для прямолінійно-паралельної фільтрації

, (10.12)

а для плоско-радіальної (як і Л.С. Лейбензон)

де p_max, p_min – максимальний і мінімальний тиски в пласті за розрахунковий період.

Таким чином, ми прийшли до рівняння типу основного диференціального рівняння пружного режиму стосовно фільтрації пружної рідини (9.10). Це дає змогу використати його розв’язки, записавши формально замість тиску квадрати тиску. Що стосується дебіту, то для рідини можна записати граничну умову так:

(10.13)

або

. (10.14)

Аналогічно для газу, пам’ятаючи аналогію між рідиною та газом у разі усталеної фільтрації (див. підрозд. 8.1), масову витрату записуємо так:

(10.15)

або

, (10.16)

де Q_м, Q₀ – масова витрата газу та об’ємна витрата, зведена до атмосферного тиску p₀.

Отже, на основі аналогії між фільтрацією пружної рідини та газу в розв’язках для пружної рідини треба тиски формально замінити на квадрати тисків, коефіцієнт п’єзопровідності  – на , на . Тоді дістанемо розв’язки для неусталеної фільтрації газу.

Наприклад, стосовно відбирання пружної рідини із свердловини з постійним об’ємним дебітом Q у безмежному пласті зміна тиску в пласті (див. підрозд. 9.4)

, (10.17)

а стосовно фільтрації газу записуємо аналогічно

(10.18)

або

. (10.19)

Для малих значин аргументу інтегральну показникову функцію можна наближено замінити логарифмічною (див. розділ 9), а тоді маємо:

(10.20)

або

. (10.21)

Подібним чином записуються й інші формули, одержані точними та наближеними методами в гл. 9, у тому числі стосовно гідродинамічного дослідження свердловин.

Зауважимо, що рівняння (10.18) – (10.21) є наближеними, так як вони отримані в результаті інтегрування лінеаризованого (наближеного) диференціального рівняння (10.11), а не точного рівняння Лейбензона (10.7) або (10.9).

Для оцінки точності методу лінеаризації необхідно проінтегрувати рівняння Лейбензона в точній постановці числовим методом. Наприклад, стосовно плоско-радіальної фільтрації ідеального газу, коли задано постійний дебіт Q, треба проінтегрувати рівняння

(10.22)

за умов:

(10.23)

За методом аналізу розмірностей шуканий тиск p залежить від п’яти визначальних параметрів, r, t, p_к, , , три із яких мають незалежні розмірності (r, t, p_к). Тоді безрозмірний тиск залежить на основі p - теореми від двох безрозмірних комплексів:

; , (10.24)

тобто , (10.25)

де ;

А тоді рівняння (10.22) записуємо так:

(10.26)

Диференціюючи по r і t як складну функцію, використовуючи вирази (10.24) і підставляючи у вираз (10.25), отримуємо замість рівняння (10.26) звичайне диференціальне рівняння

, (10.27)

яке можна розв’язати чисельним методом за таких умов, що випливають із умов (10.23):

. (10.28)

Числовий аналіз показує, що відносна похибка через лінеаризацію рівняння Лейбензона становить частки процента.

З методичних міркувань покажемо ще застосування наближених методів, наприклад, методу послідовної зміни стаціонарних станів, для розв’язування задач неусталеної фільтрації газу. Нехай, маємо задачу плоско-радіальної неусталеної фільтрації газу до свердловини з заданим постійним дебітом Q₀. Згідно з методом послідовної зміни стаціонарних станів маємо розподіл тиску в збуренній зоні (див. розділ 8 і 9)

(10.29)

і дебіт свердловини

(10.30)

звідки

а тоді

(10.31)

Для знаходження радіусу зони збурення тиску R(t) складаємо рівняння матеріального балансу газу, тобто коли відібрана маса газу Q_в0 на момент часу t дорівнює різниці початкового масового запасу газу М₀ і поточного масового запасу газу М_t:

(10.32)

Початковий масовий запас газу за тиску контурного p_к в збуренній зоні пласта радіусом R(t)

(10.33)

і поточний масовий запас газу

(10.34)

де - густина газу відповідно за контурного тиску p_к і середнього тиску в пласті , причому газ ідеальний і густина, наприклад, ; – середній тиск у пласті, який визначаємо за формулою стосовно усталеної фільтрації газу (див. розділ 8):

(10.35)

Тоді рівняння (10.32) зводимо до вигляду:

,

звідки

або з урахуванням рівняння (10.30)

,

тобто отримуємо шуканий радіус зони збурення тиску

(10.36)

чи

, (10.37)

де .

Відтак отримуємо вирази тиску в будь-якій точці пласта і в будь-який момент часу

(10.38)

і тиску на вибої свердловини в будь-який момент часу

(10.39)

Виведені формули справедливі як для нескінченого пласта, коли , так і для скінченного відкритого пласта радіусом R_к на першій фазі руху, поки лійка депресії тиску не досягне границі пласта. Якщо пласт відкритий з постійним тиском p = p_к за r = R_к, то на другій фазі встановиться усталений режим з постійною депресією тиску (p_к – p_с) і з постійним дебітом Q₀, тобто встановиться жорсткий водонапірний режим.

У випадку закритого пласта тиск буде продовжувати знижуватися в усьому пласті, в тому числі і на межі пласта. Така задача розглядається нижче.