
- •1.1 Основні поняття
- •1.2 Основний закон фільтрації – закон Дарсі
- •1.3 Границі застосування закону Дарсі. Нелінійні закони фільтрації
- •2.2 Основи моделювання процесів фільтрації
- •2.3 Застосування методів теорії подібності й аналізу розмірностей у підземній гідрогазомеханіці
- •Контрольні питання
- •3 Диференціальні рівняння ізотермічної фільтрації флюїдів у пористому середовищі
- •3.1 Виведення рівняння нерозривності фільтраційного потоку
- •3.2 Диференціальні рівняння руху
- •3.3 Залежності параметрів флюїдів і пористого середовища від тиску
- •3.4 Початкові та граничні умови
- •3.5 Виведення узагальненого диференціального рівняння ізотермічної фільтрації пружної рідини чи газу за законом Дарсі в пористому середовищі
- •Контрольні питання
- •4 Усталена фільтрація нестисливої рідини в пористому пласті до галереї і свердловини за законом дарсі
- •4.1 Виведення диференціального рівняння усталеної фільтрації нестисливої рідини в пористому пласті за законом Дарсі
- •4.2 Усталена прямолінійно-паралельна фільтрація нестисливої рідини в пористому пласті за законом Дарсі
- •4.3 Усталена плоско-радіальна фільтрація нестисливої рідини до свердловини в пористому пласті за законом Дарсі
- •Контрольні питання
- •5 Усталена фільтрація нестисливої рідини за нелінійним законом і в неоднорідних пластах
- •5.1 Усталена фільтрація нестисливої рідини за нелінійним законом до свердловини
- •5.2 Усталена фільтрація нестисливої рідини в неоднорідних пористих пластах за законом Дарсі
- •Контрольні питання
- •6 Інтерференція свердловин
- •6.1 Метод джерел і стоків
- •6.2 Метод суперпозиції
- •6.3 Метод розв’язування задач припливу до групи свердловин у пласті з віддаленим контуром живлення
- •6.4 Метод відображення стоків і джерел
- •6.5 Методи комплексного потенціалу та конформних відображень
- •6.6 Метод еквівалентних фільтраційних опорів
- •Контрольні питання
- •7 Приплив рідини до гідродинамічно недосконалих свердловин
- •7.1 Види гідродинамічної недосконалості свердловин та її врахування
- •7.2 Теоретичні дослідження припливу до гідродинамічно недосконалих свердловин за ступенем розкриття пласта
- •7.3 Теоретичні дослідження припливу до недосконалих свердловин за характером розкриття пласта
- •7.4 Дослідження припливу рідини до свердловин з подвійною гідродинамічною недосконалістю
- •Контрольні питання
- •8 Усталена фільтрація газу в пористому пласті
- •8.1 Аналогія усталеної фільтрації стисливих флюїдів з фільтрацією нестисливої рідини в пористому пласті
- •8.2 Прямолінійно-паралельна фільтрація ідеального газу за законом Дарсі
- •8.3 Плоско-радіальна фільтрація ідеального газу за законом Дарсі
- •8.4 Плоско-радіальна фільтрація ідеального газу за двочленним законом
- •8.5 Плоско-радіальна фільтрація реального газу за законом Дарсі
- •8.6 Фільтрація реального газу за нелінійним законом до досконалих і недосконалих свердловин
- •Контрольні питання
- •9 Неусталена фільтрація пружної рідини в пористому пласті
- •9.1 Виведення диференціального рівняння неусталеної фільтрації пружної рідини
- •9.2 Особливості фільтрації рідини в пласті за наявності пружного режиму
- •9.3 Прямолінійно-паралельний потік пружної рідини
- •9.4 Плоско-радіальний потік пружної рідини. Основна формула теорії пружного режиму фільтрації
- •9.5 Метод суперпозиції в задачах пружного режиму
- •9.6 Поняття про наближені методи розв’язування задач пружного режиму
- •Контрольні питання
- •10 Неусталена фільтрація газу в пористому пласті
- •10.1 Виведення диференціальних рівнянь неусталеної фільтрації газу за законом Дарсі
- •10.2 Лінеаризація рівняння Лейбензона. Аналогія між неусталеною фільтрацією пружної рідини й газу
- •10.3 Розв’язування задачі фільтрації газу з допомогою рівняння матеріального балансу
- •Контрольні питання
- •11 Фільтраційні потоки з рухомими межами
- •11.1 Витіснення нафти водою
- •11.2 Стійкість руху межі витіснення
- •11.3 Фільтраційний потік рідини з вільною поверхнею
- •11.4 Конусоутворення підошовної води та верхнього газу
- •12 Основи теорії фільтрації багатофазних систем у пористих пластах
- •12.1 Основні диференціальні рівняння фільтрації багатофазних систем
- •12.2 Узагальнена модель руху двофазних систем
- •12.3 Модель Баклея – Леверетта
- •12.4 Модель Рапопорта - Ліса
- •12.5 Модель Маскета - Мереса
- •12.6 Усталена фільтрація газованої нафти в пористому пласті
- •Контрольні питання
- •13 Витіснення нафти розчином активних домішок
- •13.1 Причини неповноти витіснення нафти водою та фізична суть застосування активних домішок. Поняття активної домішки
- •13.2 Основні рівняння моделі витіснення нафти малоконцентрованим розчином активної домішки
- •13.3 Математична модель адсорбції активної домішки
- •13.4 Аналіз розв’язків задачі витіснення нафти малоконцентрованим розчином активної домішки
- •13.5 Приклади конкретного застосування моделі витіснення нафти розчином активної домішки
- •Контрольні питання
- •14 Основи неізотермічної фільтрації рідин і газів
- •14.1 Теплове поле Землі. Геотерма. Причини неізотермічних умов фільтрації
- •14.2 Диференціальне рівняння енергії пластової системи
- •14.3 Визначення втрат теплоти через покрівлю та підошву пласта
- •14.4 Температурне поле нетеплоізольованого пласта в разі плоско-радіальної фільтрації нестисливої рідини
- •14.5 Температурне поле теплоізольованого пласта під час нагнітання у свердловину гарячої рідини
- •Контрольні питання
- •15 Особливості фільтрації неньютонівських рідин
- •15.1 Порушення закону Дарсі за малих градієнтів тиску
- •15.2 Усталена фільтрація в’язкопластичної нафти
- •15.3 Неусталена фільтрація в’язкопластичної нафти
- •15.4 Вплив аномальних властивостей нафти на охоплення пласта фільтрацією
- •Контрольні питання
- •16 Фільтрація рідин і газів у тріщинуватих і тріщинувато-пористих пластах
- •16.1 Гідродинамічна характеристика тріщинуватих і тріщинувато-пористих пластів
- •16.2 Диференціальні рівняння руху рідини й газу в тріщинуватих і тріщинувато-пористих пластах
- •16.3 Усталена фільтрація нафти в тріщинуватому та тріщинувато-пористому пластах за законом Дарсі
- •16.4 Усталена фільтрація нафти в тріщинуватому та тріщинувато-пористому пластах за нелінійним законом
- •16.5 Усталена фільтрація газу в тріщинуватому та тріщинувато-пористому пластах
- •16.6 Неусталена фільтрація нафти в тріщинуватому та тріщинувато-пористому пластах
- •Контрольні запитання
- •Список літератури
Контрольні питання
1. Запишіть і поясніть аналогію між фільтраціями нестисливої рідини та стисливого флюїду.
2. Чому лійка депресії тиску крутіша в разі фільтрації газу, ніж у разі фільтрації нестисливої рідини? Поясніть формулами та графічно.
3. Чому дорівнює середній тиск у коловому газовому пласті під час фільтрації до свердловини?
4. Нарисуйте можливі індикаторні діаграми в разі фільтрації в газовому пласті. Запишіть їхні рівняння.
5. Як враховують реальні властивості газу для обчислення дебіту газової свердловини? Запишіть необхідні формули.
9 Неусталена фільтрація пружної рідини в пористому пласті
9.1 Виведення диференціального рівняння неусталеної фільтрації пружної рідини
Нами вище одержано узагальнене
диференціальне рівняння ізотермічної
фільтрації пружного флюїду за законом
Дарсі в деформівному пористому пласті
за умов
і
у вигляді:
. (9.1)
Для виведення шуканого диференціального рівняння використовуємо рівняння стану пружної рідини й пористого середовища:
; (9.2)
. (9.3)
Спочатку знаходимо добуток
,
помноживши рівняння (9.2)
на рівняння (9.3), тобто
(9.4)
Позначаємо:
, (9.5)
де * – коефіцієнт пружної ємності насиченого пласта.
Оскільки р і
с мають порядок
10-10 Па-1, а різниця
– 107 Па, то третім доданком у
рівнянні (9.4) через малу його значину
можна нехтувати порівняно з першими
двома. Тоді
. (9.6)
Далі обчислюємо функцію Лейбензона для пружної рідини:
. (9.7)
Оскільки
,
то наближено приймаємо функцію
Лейбензона для пружної рідини таку:
. (9.8)
Продиференціювавши рівняння (9.6) і (9.8)
та підставивши результат у рівняння
(9.1), одержуємо шукане диференціальне
рівняння неусталеної фільтрації пружної
рідини в недеформівному пористому
пласті за законом Дарсі, коли коефіцієнт
нафтонасиченості
,
у вигляді:
, (9.9)
або
, (9.10)
де
– коефіцієнт п’єзопровідності пласта,
.
Рівняння (9.10) називають основним диференціальним рівнянням пружного режиму фільтрації або рівнянням п’єзопровідності. Воно відоме в математичній фізиці як рівняння Фур’є або рівняння теплопровідності. Звідси за аналогією з коефіцієнтом температуропровідності В.М. Щелкачов коефіцієнт назвав коефіцієнтом п’єзопровідності. Коефіцієнт п’єзопровідності нафтогазовмісних порід змінюється в основному від 0,1 до 5 м2/с.
9.2 Особливості фільтрації рідини в пласті за наявності пружного режиму
Умова пружного режиму – перевищення
тиску р в будь-якій точці пласта, в
тому числі на вибоях свердловин, над
тиском насичення нафти газом рнас,
тобто
.
При цьому нафта знаходиться в однофазному
стані (без вільного газу).
Приплив нафти до свердловин відбувається за рахунок енергії пружності рідини (нафти), зв’язаної (залишкової) води і гірської породи – енергії їх пружного розширення. Під час зниження тиску в пласті збільшуються об’єми нафти та зв’язаної води і зменшується об’єм пор; об’єм нафти, відповідний цим змінам, надходить у свердловини.
Пружності рідин і породи пласта незначні. Тому залежно від конкретних умов їх розглядають і як нестисливі, і як стисливі, пружні, хоча взагалі кажучи, нестисливих рідин не існує. Згідно із законом Гука для насиченого рідиною пласта можна записати відносну зміну об’єму рідини:
,
(9.11)
де V – початковий об’єм рідини; V – зміна об’єму рідини за зміни тиску р; * – коефіцієнт пружної ємності (об’ємної пружності) насиченого пласта.
Оскільки для нафти н = (7-20)·10-10 Па-1, для води в = (2,7-5)·10-10 Па-1, для гірської породи п = (0,3-2)·10-10 Па-1, то за т0 = 0,2 маємо:
а) для нафтонасиченого пласта
Па-1
Па-1,
Па-1=
Па-1;
б) для водонасиченого пласта
т0в=0,2310-10 Па-1 =
0,610-10 Па-1,
Па-1=
Па-1;
в) для нафтонасиченого пласта з урахуванням залишкової (чи пластової) води
де індекси н, в, п означають відповідно
нафту, воду й породу,
;
– коефіцієнт насиченості пор зв’язаною
водою;
– коефіцієнт насиченості пор нафтою.
Звідси слідує, що доданки в рівнянні
(9.5) близькі за величиною і нехтувати
пружністю пласта чи рідини (нафти або
води) не можна. Якщо взяти
,
то
Па-1
Па = 0,01
або 1%, тобто зміна об’єму рідини (нафти)
невелика. Але якщо врахувати величезні
об’єми нафти і, особливо, води в покладі,
то завдяки пружності можна відібрати
із пласта великі об’єми нафти.
Об’єм рідини, який можна одержати з пласта за рахунок пружності, називають пружним запасом пласта:
. (9.12)
Пружність пласта особливо відчутно проявляється після пуску свердловини в роботу або після її зупинки. Створене у свердловині збурення тиску (депресія тиску) поширюється вглиб пласта, навколо свердловини утворюється депресійна лійка, яка збільшується (розширюється) з часом (рис. 9.1). Відтак депресійні лійки окремих свердловин, поширюючись, зливаються, утворюється загальна депресійна лійка, яка в міру відбирання нафти поширюється до меж пласта. На цьому закінчується перша фаза пружного режиму.
Якщо поклад літологічно чи тектонічно обмежений (замкнутий), то надалі наступає друга фаза пружного режиму, коли появляється різновид пружного режиму – замкнуто-пружний режим. При цьому на контурі обмеження пласта, що збігається з контуром нафтоносності, тиск зменшується з часом; зменшується також тиск у покладі.
Якщо поклад не обмежений (відкритий), то загальна депресійна лійка поширюватиметься в позаконтурну водоносну область, яка може бути значною за розмірами й гідродинамічно зв’язаною з покладом. Пружний режим переходить у другий різновид – пружноводонапірний режим. Він зумовлений як пружністю, так і напором крайових вод у водоносній області.
Для замкнуто-пружного та пружноводонапірного
режимів характерно значне зниження
тиску в початковий період за постійного
поточного відбору (дебіту) нафти (або
зниження поточного відбору за постійної
депресії тиску). На пружноводонапірному
режимі темп подальшого зниження тиску
(поточного відбору) сповільнюється,
оскільки зона збурення охоплює щораз
більші об’єми водоносної області і для
одного і того ж відбору нафти необхідно
вже створити менше зниження тиску. Якщо
зовнішня межа водоносної області
знаходиться на вищій гіпсометричній
висоті, то тиск на межі може стабілізуватися
на певній величині, а режим переходить
в усталений водонапірний режим, коли
тиск на контурі живлення пласта
.
Таким чином, пуск свердловини (чи зміна відбору) викликає тривалі процеси перерозподілу тиску в пласті.
З часом неусталені процеси, викликані збуренням, стабілізуються. Далі показано, що радіус межі зони збурення на певний момент часу, наприклад,
, (9.13)
звідки можна записати оцінку часу стабілізації тиску в пласті
, (9.14)
де R – радіус контура пласта або, точніше, радіус зони збурення тиску.
Розглянуте ілюструють рис. 9.2-9.6. На рис.
9.2 показано характер розподілу тиску в
нескінченному пласті після пуску
свердловини за умов постійного заданого
дебіту
і постійної заданої депресії тиску
,
де позначено рк – постійний
початковий тиск у пласті; рс
– тиск на вибої свердловини;
- радіус зони поширення лійки депресії
тиску на момент часу t після пуску
свердловини. Оскільки радіус
збільшується з часом t, то фільтраційний
опір змінний у часі і зростає.
Для цих випадків можна записати зв’язок між дебітом і депресією тиску в такому вигляді:
; (9.15)
, (9.16)
а також за змінних дебіту Qt i
депресії тиску
, (9.17)
де
– функція продуктивності свердловини
або функція припливу (монотонно згасає
в часі);
– функція депресії тиску (монотонно
зростає в часі);
– функція часу.
Зазначимо, що для умов пружної фільтрації будувати індикаторну діаграму не можна, так як параметри фільтрації змінні в часі, а функції і є в якійсь мірі аналогом коефіцієнта продуктивності, але останній має сенс тільки стосовно усталеної фільтрації.
В обмеженому відкритому пласті, коли на межі підтримується постійний тиск рк, лійка депресії тиску з часом наближається до усталеного стану (див. рис. 9.3, 9.4), як і вибійний тиск рс чи дебіт Q.
У круговому замкнутому пласті за відбору
нафти з постійним дебітом
через деякий час
має місце постійне падіння тиску у
всьому пласті, в тому числі і на його
межі (див. рис. 9.5), а за відбору нафти з
постійною депресією тиску
– зменшується дебіт свердловини (див.
рис. 9.6).
Стосовно до розглянутих умов обчислимо пружний запас пласта. Оскільки тиск у кожній точці пласта різний, то пружний запас записуємо так:
, (9.17)
де
– середнє зниження тиску в пласті;
– середньозважений за деяким об’ємом
пласта тиск.
В умовах пружноводонапірного режиму,
коли на межі підтримується постійний
тиск рк (див. рис. 9.3, 9.4), розподіл
тиску за
наближається до усталеного стану згідно
з логарифмічною залежністю, то середній
тиск (див. підрозд. 4.3)
, (9.18)
а тоді пружний запас пласта
. (9.19)
Якщо
,
то похибка обчислень за формулою (9.19)
не перевищує 1%.
В умовах замкнуто-пружного режиму (див. рис. 9.5, 9.6) середній тиск залежить від дебіту Q, а конкретніше від відібраного (нагромадженого) об’єму рідини
, (9.20)
звідки
. (9.21)
Оскільки зміна нагромадженого об’єму
дорівнює зміні пружного запасу пласта
за проміжок часу dt, то диференціюючи
рівняння (9.17) і прирівнюючи до рівняння
(9.21), одержуємо диференціальне рівняння
виснаження закритого пласта на
замкнуто-пружному режимі:
,
(9.22)
або
. (9.23)
За умови
нагромаджений відбір згідно з рівнянням
(9.20) лінійно зростає в часі (
),
згідно з рівнянням (9.23), а тоді середній
тиск у пласті зменшується в часі за
лінійним законом, тобто
. (9.24)
Формулою (9.24) можна користуватися доти, доки вибійний тиск рс не стане таким, що дорівнює тиску насичення нафти газом рнас.
За умови
внаслідок виснаження енергії пружності
пласта середній тиск
,
тобто коли
,
тоді пружний запас закритого пласта на
замкнуто пружному режимі згідно з
рівнянням (9.17)
. (9.25)
Очевидно, що пружний запас
на замкнуто-пружному режимі за формулою
(9.25) є більшим від пружного
запасу на пружноводонапірному режимі
за формулою (9.19), але в
другому випадку нафта ще буде витіснятися
до свердловин крайовою водою (за рахунок
енергій пружності і напору крайової
води). У першому випадку слід переходити
на режим розчиненого газу. В обох випадках
найбільші величини пружного запасу
нафти отримуються за умови рівності
вибійного тиску
і тиску насичення нафти газом
,
тобто
.