6.5 Методи комплексного потенціалу та конформних відображень

Поняття комплексного потенціалу випливає з основних положень теорії функції комплексної змінної. Її застосування дає змогу розв’язувати деякі задачі фільтрації простіше і повніше, ніж іншими методами. Далі розглянемо обгрунтування комплексного потенціалу, принципи і важливі результати.

Як вже зазначалося, гідродинамічне поле являє собою сукупність ліній ізобар (еквіпотенціалей) і ліній течій. Для кожної еквіпотенціалі справедливим є рівняння рівня потенціалу

, (6.42)

причому надаючи певні значини константі, переходимо від одної еквіпотенціалі до іншої. Потенціал Ф пов’язаний з системою рівнянь закону Дарсі у вигляді (6.3):

(6.43)

і задовольняє рівняння Лапласа

. (6.44)

Аналогічно для кожної лінії течій також можна записати рівняння рівня функції течій:

. (6.45)

Функцію назвемо функцією течії. Покажемо, що вона також задовольняє рівняння Лапласа. Для цього знайдемо в явному вигляді рівняння лінії течії. Лінією течії називається така лінія, дотична до якої у довільній точці збігається з вектором швидкості. Звідси записуємо вирази для напрямних косинусів (рис. 6.8):

, (6.46)

де dl – елемент лінії течії з проекціями на координатні осі dx та dy; – модуль вектора швидкості з проекціями та .

Розв’язуючи спільно вирази (6.46), отримуємо рівняння лінії течії:

, (6.47)

або

. (6.48)

Функція течії є постійною вздовж лінії течії і змінюється лише під час переходу від одної лінії течії до другої. Отже, її повний диференціал доpівнює нулю, тобто

. (6.49)

Порівнюючи вирази (6.48) і (6.49), маємо

. (6.50)

Порівнюючи відповідні рівняння (6.43) і (6.50), дістаємо рівняння Коші-Рімана (або інакше Даламбера-Ейлера)

. (6.51)

Диференціюючи рівняння (6.51), дійдемо висновку, що функція задовольняє рівняння Лапласа:

(6.52)

або

. (6.53)

Отже, і є спряженими гармонічними функціями, оскільки обидві задовольняють рівняння Лапласа і зв’язані між собою рівняннями Коші-Рімана. А з теорії функцій комплексної змінної відомо, що з таких двох спряжених гармонічних функцій можна скласти функцію комплексної змінної:

, (6.54)

де – комплексна змінна; i – уявна одиниця.

Функцію F(z) називають характеристичною функцією руху, або комплексним потенціалом.

Доведемо ще, що лінії течії та еквіпотенціалі взаємно перпендикулярні. Оскільки = const і = const, то

; (6.55)

. (6.56)

Із рівнянь (6.55) і (6.56) згідно з рис. 6.8 кутові коефіцієнти дотичних прямих до еквіпотенціалей і ліній течій запишуться так:

; (6.57)

. (6.58)

З урахуванням рівнянь Коші-Рімана добуток кутових коефіцієнтів

(6.59)

Як відомо з аналітичної геометрії, умова є доказом перпендикулярності лінії, а отже лінії течій та еквіпотенціалі (їх дотичні) взаємно ортогональні.

Таким чином, якщо нам відома функція комплексної змінної F(z) згідно з формулою (6.54), то виділивши в ній дійсну частину Re F(z) від уявної Im F(z) (лінійні оператори Re та Im - від французьких слів real і imaginaire, що перекладаються як дійсний та уявний - означають взяття відповідно дійсної та уявної частини деякого комплексного виразу), можна вважати, що дійсна частина являє собою потенціал деякого плоского фільтраційного потоку , а уявна частина - функцію течії . Прирівнюючи їх до постійних значин, одержуємо ряд еквіпотенціалей  = const і ряд ліній течій  = const (рис. 6.9).

Швидкість фільтрації в будь-якій точці пласта визначається за похідною Для пояснення цього, диференціюючи (6.54) і використовуючи рівняння Коші-Рімана (6.51), знайдемо

(6.60)

звідки

, (6.61)

або з урахуванням рівнянь закону Дарсі (6.43)

, (6.62)

де після винесення i за дужки ; ; – комплексно спряжена величина швидкості фільтрації. Похідну називають комплексною швидкістю.

Із виразів (6.61) і (6.62) випливає, що похідна є комплексним числом, а тоді модуль комплексної швидкості дорівнює модулю швидкості фільтрації, тобто

. (6.63)

Визначимо закон руху частинок рідини вздовж лінії течії L. Проекції швидкості фільтрації на координатні осі можна записати так:

. (6.64)

Тоді, підставляючи формули (6.64) у вираз (6.61), дістаємо

, (6.65)

звідки, інтегруючи, одержуємо формулу часу руху частинки рідини на довжині L лінії течії:

, (6.66)

де – спряжена із z комплексна змінна.

Можна показати, що різниця значин функцій течій на двох лініях течій дорівнює витраті рідини між цими лініями (фізичний зміст функції течії).

Аналогічні міркуваня справедливі й щодо стисливої рідини чи газу, тільки під швидкістю фільтрації треба розглядати масову швидкість фільтрації , а під потенціалом Ф розуміти вираз , де ρ – густина стисливої рідини (газу).

Оскільки функції і задовольняють рівнянню Лапласа, то комплексні потенціали також можна додавати за методом суперпозиції.

Розглянемо приклади деяких комплексних потенціалів потоків на площині.

1. Комплексний потенціал для прямолінійно-паралельного потоку виражається функцією

, (6.67)

де a і b – дійсні або комплексні постійні. Нехай . Тоді

_(6.68)

Звідси маємо:

(6.69)

.

тобто гідродинамічне поле представлено перпендикулярними прямими , а рух є прямолінійним з постійною швидкістю фільтрації , де є постійними величинами).

2. Комплексний потенціал точкового стоку, що розміщений у центрі координат,

, (6.70)

або для

(6.71)

звідки, відділивши дійсну частину від уявної, отримуємо:

, (6.72)

де r,  – полярні координати довільної точки М; b – стала величина; . Ми одержали відомий вже вираз (6.5) для потенціалу Ф, тобто еквіпотенціалі являють собою концентричні кола радіуса r = const, а лінії течії є радіальними прямими лініями, що проходять під кутом  = const з центру координат.

3. Якщо точковий стік розміщено не на початку координат, а в точці з комплексною координатою , то комплексний потенціал записується аналогічно:

. (6.73)

Якщо подати комплексну змінну в полярних координатах, то дістанемо:

, (6.74)

де r – відстань від будь-якої точки М площини потоку z не до початку координат, а до особливої точки , в якій розміщено стік;  – полярний кут з вершиною в цій особливій точці. Тоді F(z) виразиться формулою типу (6.71), а Ф і  – відповідно формулами (6.72).

Розширенням методу комплексного потенціалу є метод конформних відображень (від лат. comformis - подібний, відповідний). Як відомо з теорії функцій комплексної змінної, конформним називають відображення однієї поверхні на іншу, які володіють властивістю консерватизму кутів (зберігаються кути між усіма напрямами) і властивістю постійних лінійних розтягів (стиснень).

Суть методу конформних відображень полягає в тому, що для складної досліджуваної області фільтрації будується допоміжна область комплексного потенціалу, а відтак здійснюється наступне конформне відображення на цю область реального руху з допомогою аналітичної функції. Допоміжна область являє собою прямокутник або круг, для яких дослідження фільтраційного потоку не складає математичних утруднень. А наявність функціонального зв’язку між координатами допоміжної області й координатами реальної області фільтрації дає змогу перенести одержаний розв’язок на реальну область фільтрації. Тобто вводимо нову комплексну змінну

, (6.75)

що зв’язана з комплексною змінною

(6.76)

співвідношенням

, (6.77)

де z() - довільна аналітична функція, яка реалізує конформне відображення площини z на площину . Тоді маємо:

. (6.78)

Отже, задаючись тією чи іншою перетворювальною функцією z(), з одного потоку F(z) на площині z одержуємо потік на площині , а вивчивши останній, повертаємося до початкового потоку.

Наприклад, прийнявши перетворювальну функцію у вигляді

, (6.79)

перейдемо від плоско-паралельного руху

(6.80)

до плоско-радіального руху зі свердловиною в центрі координат (рис. 6.10)

. (6.81)

Якщо взяти перетворювальну функцію

, (6.82)

то від потоку до свердловини біля прямолінійного контура (рис. 6.11) перейдемо до плоско-радіального потоку в круговому пласті з центральною чи ексцентричною свердловиною, приймаючи .

Якщо в круговому пласті маємо концентричний коловий ряд (батарею) з n рівнодебітних свердловин (рис. 6.12), то внаслідок симетрії достатньо розглянути приплив до одної свердловини в секторі з центральним кутом (на площині z). Степенева функція

(6.83)

розгорне кут  на площині z у круг на площині , де одержимо потік до свердловини, ексцентрично розміщеної в круговому пласті радіуса на відстані від центра, причому радіус свердловини

. (6.84)

Тоді з відомої формули (6.38) після підстановки _{к, , с} дістанемо формулу дебіту однієї свердловини у коловому ряду

. (6.85)

Формулу дебіту однієї свердловини у прямолінійному нескінченному ряду можна дістати, використавши функцію

, (6.86)

яка нескінченну півплощину z конформно відображає на круг площини  з ексцентричною свердловиною, де позначення показано на рис. 6.13. У результаті формула дебіту одної свердловини в прямолінійному нескінченному ряду набуває вигляду:

. (6.87)

Зазначимо, що ці формули можна також дістати прямим відображенням стоків у контурі живлення пласта і використанням методу суперпозиції, але виведення їх у цьому разі трудомісткіше. При цьому у випадку колового контура відображення здійснюється згідно із згаданим вище законом інверсії (6.37).