6.2 Метод суперпозиції

Метод суперпозиції (або накладання потоків) базується на принципі суперпозиції. Суть принципу суперпозиції полягає в тому, що для будь-якого лінійного диференціального рівняння можна одержати довільну кількість частинних розв’язків, алгебрична сума яких дає новий частинний розв’язок. Він виражає фізичний зміст незалежності ефектів, що викликані різними причинами, і застосовується в теоріях теплопровідності, електрики тощо. Звідси метод суперпозиції у підземній гідрогазомеханіці дає змогу одержати незалежні частинні (окремі) розв’язки лінійних диференціальних рівнянь для окремих (поодиноких) діянь (впливів) на фільтраційний потік, а загальний розв’язок у разі сумісної дії усіх впливів отримують підсумовуванням (додаванням) частинних розв’язків.

Математична суть методу суперпозиції полягає в такому. Якщо маємо кілька фільтраційних потоків з потенціалами , кожний з яких задовольняє лінійне рівняння Лапласа

, (6.10)

то і сума

(6.11)

також задовольняє рівняння Лапласа

, (6.12)

де – довільні постійні.

Гідродинамічна суть методу суперпозиції полягає в тому, що потенціал (тиск) у будь-якій точці пласта дорівнює алгебричній сумі потенціалів окремих стоків і джерел, а результуюча швидкість фільтрації – геометричній (векторній) сумі швидкостей фільтрації, викликаних роботою кожного стоку і джерела.

Останнє аналогічно випливає з лінійного рівняння нерозривності потоку (3.14) щодо вектора швидкості фільтрації.

Нехай на безмежній площині маємо n стоків і джерел (рис.6.2). Потенціал кожного з них у точці M визначається за формулами (6.5) чи (6.6). Тоді за методом суперпозиції потенціалів у точці M у разі одночасної роботи цих стоків і джерел

(6.13)

aбо

, (6.14)

де – відстань від точки M до  -го стоку чи джерела; Фізично це означає, що фільтраційні потоки від роботи кожного стоку та джерела накладаються один на один.

Вектор швидкості фільтрації у точці M

, (6.15)

де

У точці M можна знайти також вектор дійсної швидкості руху частинок:

, (6.16)

де – коефіцієнт пористості пласта (скалярна величина).

6.3 Метод розв’язування задач припливу до групи свердловин у пласті з віддаленим контуром живлення

Нафтове родовище експлуатується десятками й сотнями свердловин. Припустимо, що в пласті розміщено безліч свердловин, причому контур живлення довільної, але замкнутої форми віддалений на значну відстань від свердловин і відомий порядок цієї відстані (рис. 6.3).

Задача зустрічається в двох постановках, коли треба визначити дебіти свердловин за відомих тисків на вибоях, або навпаки. Найчастіше вибійні тиски задаються з технологічних і технічних міркувань (із умов фонтанування свердловини, недопущення винесення піску з пласта чи зім’яття обсадної колони труб, забезпечення ефективної роботи обладнання і т. ін.).

Метод розв’язування такої задачі базується на поєднанні застосування методів стоків і джерел та суперпозиції. Для цього свердловини замінюють точковими стоками і джерелами. Така заміна є наближеною, але цілком допустимою, оскільки радіуси свердловин (порядка 0,1 м) значно менші за відстані між свердловинами (300 - 1200 м). При цьому відстані між свердловинами є значно меншими від відстані . Тоді для розв’язування використовують формулу результуючого потенціалу (6.14). Невідомі дебіти (чи вибійні потенціали) і постійну с визначають із граничних умов. Для цього довільну точку M розміщують почергово на контурах усіх свердловин із заданими потенціалами і на контурі живлення пласта з відомим потенціалом . У результаті згідно з рівнянням (6.14) одержують систему рівнянь (невідомі n питомих дебітів і одна постійна ):

, (6.17)

де – радіус  -ї свердловини.

Віднімаючи від останнього рівняння почергово всі попередні, виключимо постійну с і одержимо систему n рівнянь для визначення n питомих дебітів _.

Аналіз показує, що сумарний видобуток нафти з покладу у міру введення в експлуатацію нових свердловин, які знаходяться в однакових умовах, зростає повільніше < , ніж кількість свердловин (рис.6.4). Для кращої наочності дискретну зміну видобутку замінено плавною лінією. Монотонний характер залежності змушує кінцеву кількість свердловин для розробки покладу визначати з інших міркувань, зокрема на основі економічного аналізу приросту відбору і витрат на його одержання.

Аналогічно можна отримати прості формули дебіту свердловини для різних випадків впорядкованого розміщення свердловин (на вершинах трикутника, квадрату тощо).