Фильтрация и сглаживание
Временная динамика компонентов геосистем определяется суперпозицией 4-х групп процессов: а) постоянно периодических, обусловленных в первую очередь суточным и годовым вращениями Земли; б) циклических, вызываемых причинами с колеблющимися периодами и амплитудами, например, 11-летним солнечным циклом, продолжительность которого может быть и больше, и меньше этой величины; в) многолетних (вековых, тысячелетних и т.д.) постоянных изменений, имеющих вид линейных трендов; г) «случайных» колебаний, так называемого «шума». Разумеется, это подразделение в некоторой степени условно. Так, периоды суточного и годового вращения Земли не являются абсолютно неизменными величинами, а подвержены колебаниям и имеют устойчивые, хотя и очень маленькие тренды изменений. То, что мы определяем как многолетний тренд, может на самом деле являться проявлением долгопериодного процесса. «Случайные» колебания, разумеется, имеют свои причины. К этой категории относят те кратковременные процессы, которые в данных временных масштабах невозможно отнести к первым трём категориям. Например: переменная облачность, солнце то заходит за облака, то снова появляется на небосводе. Из-за этого происходят колебания интенсивности солнечной радиации.
Геосистемы, особенно умеренной и полярной зон, характеризуются ярко выраженными годовыми циклами функционирования. Поэтому исследование геосистемы предполагает выявление внутригодовой изменчивости её параметров, обусловленной годовым обращением Земли вокруг Солнца. Чтобы избавиться от изменчивости, вызванной суточным вращением Земли вокруг своей оси, следует оперировать среднесуточными или суммарными за сутки величинами. По крайней мере – четко представлять масштабы суточной изменчивости. Однако на годовую периодическую динамику накладывается межсуточная изменчивость, обусловленная синоптической изменчивостью погодных условий. Чтобы избавиться от нее, можно применить различные способы фильтрации и сглаживания, в частности, скользящим осреднением. Суть его в следующем: берутся первые w значений ряда данных, определяется их среднее и относится к середине этого интервала, называемого окном осреднения или сглаживания. Чтобы результат не относился к дробному номеру суток, лучше ширину окна назначать равной нечётному числу элементов. Затем окно сдвигается на один элемент (в нашем случае – сутки) и осреднение повторяется снова и так до конца ряда. При этом результирующий ряд будет короче исходного на w-1 элементов. При малой ширине окна не удаётся избавиться от «шума», при излишне большой можно «выплеснуть вместе с водой и ребенка»: утерять периодическую составляющую изменчивости. В практике географии и геоэкологии часто применяется осреднение окном шириной около 30 суток – использование среднемесячных значений. Ниже представлен листинг рабочей области Маткада, выполняющей скользящее осреднение только для случаев нечетного числа элементов в окне.
Импорт данных из таблицы: первый столбик – номер суток от начала года, второй – значение температуры воды.
data
Задание ширины «окна»: w:=3
Определение числа элементов между центом окна и его краем:
d:=(w-1)/2 d=1
Определение числа элементов сглаженного ряда:
dlina_osr:= n – w + 1 dlina_osr = 363
Определение номера суток, с которых начинается сглаженный ряд:
nach_osr:=nachalo + d nach_osr = 2
Определение номера суток, которыми заканчивается сглаженный ряд:
kon_osr:= konets – d kon_osr = 364
Определение номера ряда в матрице данных, с которого начинается осреднение последнего «окна». Т.к. первый ряд имеет номер 0, то
k:=n-w k=362
Создание матрицы значений сглаженного ряда. Первый столбик – номер суток, к которому относится полученное значение, помещенное во второй столбик.
На рис. 7 приведен исходный ряд данных и результаты двух сглаживаний: с окнами осреднения 3 и 31 сутки. Видно, что в первом случае сглаженная кривая практически совпадает с исходным рядом, «срезан» лишь один выброс максимального значения. Обратите внимание, что для правильного размещения на графике сглаженных рядов данных в качестве их аргументов необходимо установить не вектор номеров всех суток года, а вектора номеров суток центров окон осреднения. Для наглядности на графике показаны аргументы функций tw, tw3, tw31 – nsut, nsut3, nsut31.
nsut, nsut3, nsut31
Рис. 7. Сглаживание данных:
------ исходный ряд,
▬▬ окно 3 суток
окно 31 сутки