Ранговый критерий рассеяния Зигеля-Тьюки

Этот критерий является наиболее чувствительным именно к различию дисперсий выборок. Для построения этой статистики анализируемые выборки объединяются в один ряд длиной N=m+n и ранжируются в порядке возрастания. Первый ранг (1) получает наименьшее значение, второй и третий – два самых больших значения, ранги 4 и 5 получают следующие наименьшие значения, 6 и 7 – следующие наибольшие значения и т.д. Если общее число наблюдений чётное, то среднее значение получает наивысший ранг, если нечетное – оно не получает никакого ранга, а длину соответствующей выборки следует сократить на единицу. При правильном подсчете должно выполняться равенство: R1+ R2 = (m+n)(m+n+1)/2, где R1+ R2 – ранговые суммы для выборок из X и Y. Однако это равенство не обязательно должно выполняться в том случае, если какие-либо значения в выборке повторяются. Если анализируемые выборки удовлетворяют условию: m и n  9 или m  2, n  20, то в качестве тестовой статистики можно использовать величину



Z = (2R1- m(m+n+1)+1)/√ m(m+n+1)(n/3),

где R1- сумма рангов меньшей выборки; m и n – соответственно длины меньшей и большей выборок. При этом, если 2R1  m(m+n+1), то в числителе +1 заменяют на –1: 2R1- m(m+n+1)-1.

При соблюдении упомянутых условий распределение статистики Z с достаточной точностью аппроксимируется стандартным нормальным распределением. Критерий Зигеля-Тьюки следует применять вместо критерия Фишера, если распределение существенно отличается от нормального. Доверительный интервал для статистики Z определяется по ординатам (квантилям) стандартного нормального распределения при уровне значимости 2: – t_1-  Z < + t_1-.

Проверка однородности двух групп данных по критерию Зигеля-Тьюки

Начало данной рабочей области полностью совпадает с алгоритмом критерия Уилкоксона-Манна-Уитни. Различия начинаются после выполнения «уникализации» повторяющихся значений, если такие существуют. Определяется чётность или нечётность числа элементов - остаток от деления числа уникальных значений на 2:

ost:=mod(nUnik,2) ost=0

Проверка чётности числа уникальных значений:

test:=  “nechetniy” if ost  0

 “chetniy” otherwise

test=”chetniy”

Определение числа членов ряда, получающих ранг:

dlina:= nUnik if test=“chetniy”

nUnik-1 otherwise

dlina=136

Создание вектора рангов ранжированного ряда:

vrang_nu:=0

vrang_nu:= i_konets  nUnik

i_nachalo  0

nrang  2

while nrang  nUnik

 if nrang  dlina

   i_konets  i_konets - 1

   loc_rang_{i_konets}  nrang

 nrang  nrang + 1

 if nrang  dlina

   i_konets  i_konets - 1

   loc_rang_{i_konets}  nrang

 nrang  nrang + 1

 if nrang  dlina

   i_nachalo  i_nachalo + 1

   loc_rang_{i_nachalo}  nrang

 nrang  nrang + 1

 if nrang  dlina

   i_nachalo  i_nachalo + 1

   loc_rang_{i_nachalo}  nrang

 nrang  nrang + 1

loc_rang

vrang₀:=1

Создание объединенной матрицы UR: первый столбец - уникальное значение, второй – номер выборки, третий - ранг значения:

UR_nUnik,2 := 0

UR:= for i  0..(nUnik-1)

  Tabl_i,0  Unik_i,0

  Tabl_i,1  Unik_i,1

  Tabl_i,2  vrang_i

Tabl

Проверка числа уникальных значений в матрице UR:

nur:=rows(UR) nur=136

Расчёт ранговых сумм первой и второй выборок R1и R2:

R1:= sum  0

for i  0..(nur-1)

 teknvibUR_i,1

 if teknvib=1

  rang UR_i,2

  sumsum+rang

sum

R2:= sum  0

for i  0..(nur-1)

 teknvibUR_i,1

 if teknvib=2

  rangUR_i,2

  sumsum+rang

sum

R1=7547 R2=1769

SUMR:=R1+R2 SUMR=9316

proizvmn:=(n1+n2)(n1+n2+1)/2 proizvmn=9316

Проверка равенства:

raschet_veren:=”da” if SUMR= proizvmn

”net” otherwise

raschet_veren=”da”

Определение ранговой суммы меньшей выборки:

R:= tR1 if n1<n2

tR2 if n2<n1

t (R1+R2)/2 if n1=n2

t

R=1769

Определение оценки тестовой статистики Зигеля-Тьюки Z:

menv:=n1 if n1n2

n2 if n2<n1

bolv:= n1 if n1n2

n2 if n2>n1

Z:= if (n1>9  n2>9)  (menv>2  bolv>20)

  udvR  2R

  prozvmn  menv(menv+bolv+1)

  chislitel  udvR - prozvmn

  

  znamenatel   prozvmnbolv/3

  chislitel  chislitel-1 if udvR>prozvmn

  chislitel  chislitel+1 otherwise

  t  chislitel/znamenatel

t  “ne opredelena” otherwise

t

Z= -1.153

Задание уровня значимости (двухсторонний в 2 раза больше):

:=0.05

Определяем ординату (квантиль) t нормированного стандартного нормального распределения (МО=0, s = 1) при уровне значимости 2 = 10%:

t:=qnorm(1-,0,1)

t=1.645

Определяем модуль тестовой статистики Z:

absZ:= Z 

test:=”gipoteza odnorodnosti oprovergaetsa” if absZ>t

”gipoteza odnorodnosti ne oprovergaetsa” otherwise

test=”gipoteza odnorodnosti ne oprovergaetsa

Приведенные примеры показывают, что встречаются такие ситуации, когда один критерий (в данном случае - Уилкоксона-Манна-Уитни) опровергает гипотезу об однородности двух групп данных, а другой критерий (здесь - Зигеля-Тьюки) – не опровергает. В этом случае нельзя считать эти две группы данных однородными.