Краткий обзор методов оптимизации
(методов поиска оптимального решения)
Линейное программирование
Критерий качества q = Q (x,, u)
Maх
q u
q
=
bixj
*
aijxi <=0
- система m линейнозависимых уравнений с n неизвестными.
a11x1
+ …+a1nxn=b
.
(1) .
.
am1x1 + …+amnxn=b
Это есть система ограничений в задаче линейного программирования
m<n
Требуется найти неотрицательные значения переменных, которые удовлетворяют уравнению (1) и образуют в max целевую функцию q.
q = C0 + C1X1 + …+ CnXn
Так как число переменных больше числа неизвестных, то решение можно найти, если некоторое число (n-m) решений принять равным 0.
П
олучим
систему из m уравнений с
m неизвестными, можно
решить методами линейной алгебры,
учитывая ограничения max
q
u
Геометрическая интеграция задачи линейного программирования
- 2x1 + x2 + x3 = 2
x1 – 2x2 + x4 = 2
x1 + x2 + x5 = 5
q = x2 –x1
Требуется найти неотрицательные значения переменных, удовлетворяющих уравнениям и обращающим в min целевую функцию q.
- q = xx – x2 = q* x3 = 2 + 2x1 – x2
m = 3; n = 5 x4 = 2 – x1 + 2x2
n – m = 2 x5 = 5 – x1 – x2
xi >=0, i = 1, 5
X1
X
3<0
X3>0
q
min
X2
m – виды ресурсов (сырье, топливо, материалы, инструменты)
a11x1 + …+a1nxn = b1
…
am1x1 + …+amnxn = bn
b1, bn – запасы ограничены и равны этим величинам
aij – расход ресурсов i-го вида на единицу продукции j-го типа
g – величина дохода от выпущенной продукции
q* =
CjXj
Cj – доход от реализации j-го продукта
2. Задача нелинейного программирования. Рассматривать не будем по причине сложности решения нелинейных уравнений.
3. Задача оптимального управления, в условиях, когда объект эволюционирует во времени.
(Оптимальная задача динамического управления)
В случае динамических задач мы учитываем эволюцию во времени. Это означает, что все коэффициенты (с, а, в) становятся функциями времени c(t), a(t), b(t), x(t), u(t).
Это означает, что мы переходим от задач анализа q = f (x, u) к задачам функционального анализа.
Характер движения ОУ описывается системой дифференциальных уравнений.
X
= g(x,u)
X =
X(0) = C
T1(u)
=
Q1
[ (X(t), U(t)]
dt - функция потерь
(качества)
T – время протекания процесса управления
Q1 – мгновенные потери в момент времени t при сост. x(t) и управления U(t)
H (X(t), U(t)) dt <= - ограниченность ресурсов
Т(u) = Q1 (x,u)dt + H (x, u)dt - (метод множителей Лагранжа)
extr T(u)
Идея решения.
В случае функции мы искали extr за счет произвольной по критерию качества. Здесь делается тоже самое, только вместо производной от функции используется понятие вариация функционала.
T (u) = T (u + u) – T(u)
Но здесь возникают непреодолимые трудности и задача решается только в случае относительных extr функционала.
принцип оптимальности (max) Потрягина
метод динамического программирования (Беллман)
Принцип max Потрягина
Имеем модель объекта, который описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
Yi = fi (y1,…,ym, u(t))
t = 0
Y =F (Y, U(t))
y(0) = y0
Y – вектор переменной задачи
F – вектор заданных функций переменного объекта
П
еревести
объект из состояния Y в
заданное состояние Y*
Траектория Y(t) и уравнения U(t) должны удовлетворять заданным ограничениям и экстремальной цели
min Q (U(t)) = f0 (Y(t), U(t)) dt
f0, U – заданные функции
Q можно трактовать как затраты на процесс управления, здесь важно явление ограничения на время управления.
(пример крановщика: оптимальное управление U* позволяет за минимальное время установить груз в точно заданной точке Y*)
Решение Потрягина.
Он разделил задачу на две части:
оптимального управления в текущий момент времени t.
отдельный независимый учет граничных условий связанный с состоянием объекта.
Y* (y*1, …., y*n)
Решение вариационной задачи типа:
Q
=
f0
(Y, U(t))
dt
min Q
U(t)
h
i
(Y, U(t))
>= 0
(Q, )
y
i
= fi
(Y, U(t))
yi(0) = y0i ; C>=0, )
(Q
Происходит движение объекта
min
Q
max
Y0
C
=
Y”
– Y*
Принцип оптимальности Белламана.
Первый ход решения: оптимальную задачу на каждом шаге, для всех возможных вариантов.
В
А