Стохастические имитационные модели

Под имитационными моделями будем понимать модели, в которых в фиксированные моменты времени t_1………t_n фиксируются определенные состояния моделей - это состояние объекта управления, - состояние среды, - состояние управления.

Состояние генерируется на компьютере.

X

U

OY

Y

Y

t_{1,……….,}t_n

Ф

F

иксация параметров осуществляется во всех необходимых деталях (функциональная модель)

( Y_i, X_i+1, U_i+1) Y_i+1

Имитационные модели обладают возможностью хорошо описывать неконтролируемые факторы поведения объекта, априорную необходимость в отношение поведения объекта, его стохастичность с помощью теории случайных процессов и теории недетерминированного хаоса.

Семиотические модели

Синтез всякой модели является процессом формализованного описания объекта, т.е. переходит от обыденного языка к формализованному. Для классической математике такой переход не всегда возможен. Это связано с многозначностью, размытостью понятий обыденного языка и, к сожалению, с многозначностью языка медицины и биологии.

Эти трудности можно частично устранить, если в символьной форме задать фиксированное число специально выделенных понятий. Эти понятия фиксируются в виде определенных знаков, для которых задаются строгие алгебраические правила отношений. Назовем такую систему знаков семиотической моделью.

язык естествен.

науки (биолог.,

мед., эколог.)

язык

обыденный

Z

1). выделение понятий

2). обозначение знаками и символами

3). вводим состояние связей и отношен. (алгебра)

Это позволяет достигать 2-х целей:

0. давать краткое описание сути явлений;

1. преобразуя полученные знаковые констатирующие по определенным правилам или алгоритмам, можно выявить принципиально новые свойства объекта.

Примером семиотической системы является язык бинарных отношений.

1. задается базовое понятие {a_i} Это символы, которым соответствуют ключевые структуры объекта.

a₁ – лифт

a₂ – кнопка лифта

a₃ – дверь лифта

2. Базовые отношения. Устанавливают физические механизмы связей между базовыми понятиями.

{p_j} – отношения (удалось выявить около 2000 отношений).

p₁ – находиться в

р₂ – быть одновременно

Ограничения на отношения.

Устанавливаются отношения только между двумя понятиями.

3. Имена. Некоторым элементам объекта можно присваивать имена {b_i}.

Введенные определения задают словарь бинарных отношений. Предметный смысл введенных понятий задает семантику бинарных отношений.

Правила синтаксиса

Правилами считаются любые фразы следующего типа:

А = а_i

A=a_ir_ka_j

A=A_ir_jA_k

A=A_ir_jb_k

Алгебраические свойства отношений

Алгебраические свойства отношений изучают в современной абстрактной алгебре.

Были выявлены наборы таких свойств, которые обеспечили структурное описание значительного количества сложных систем:

0. поведение автоматических дискретных устройств, включение ЭВМ, цифровые системы связи и передачи информации;

1. генетика в биологии;

2. фундаментальные законы физики;

3. теоретическая биология.

Б

a^*

лагодаря четкой фиксации выявленных свойств бинарных отношений можно сформулировать правила преобразования символов, которые приводят к фиксации новых свойств.

f()

A₁ A₂ A₃ A₄ A₅ A₆

Образуются новые интегральные фразы, которые автоматически трактуются как новое понятие (базовые). Сопоставление этих новых базовых понятий с поведением реального объекта приводит экспериментатора к открытию новых свойств.

Таким образом, функции преобразования символьного описания объекта позволяют образовывать новые понятия. Практическая полезность новых понятий связана с тем, что в результате серии опытов экспериментатор усматривает эти свойства. Частота употребления базовых понятий в эксперименте и служит практическим аргументом в пользу их использования.

Примеры базовых отношений.

a > b - отношение предпочтения

a  b -отношение эквивалентности

f(x)

H(x)_алг

Семиотические система	экология
а. Семантная б. грамматика в. синтаксис	медицина экономика политика

Бинарные отношения характеризуются набором свойств. Для примера рассмотрим 2 свойства

1. Свойство симметрии.

(A₁r₂A₂) = A₂r₁A₁ (отношения r₂ и r₁ симметричны)

Пример отношений r₂ и r₁ : быть одновременно.

2. Свойство транзитивности

r₁ – находиться в ящике

A ₁r₁A₂ A₁ и A₂ находятся в ящике

A₂r₁A₃ A₂ и A₃ находятся тоже в ящике

 A₁r₁A₃

Частично упорядоченное множество еще одна особенность бинарных отношений.

Для части множеств можно установить бинарные отношения, а для других нет.. Такие множества называются частично упорядоченными множествами.

Частично упорядоченными множествами называются множества для которых можно установить попарное сравнение.

Транзитивность предпочтения в какой то мере выражает его конечность, согласованность, единство, однако, часто в реальных системах это условие нарушается.

Отсутствие транзитивности может привести к суммированию максимумов в самых тривиальных случаях подсчета.

ПР. X>Y, Y>Z, Z>X т.е. любая альтернатива доминируется некоторой другой, но при этом максимальной альтернативы нет

Итак, простейшее решение в семиатической системе (интеллектуальная система) можно получить если множество альтернатив является полностью упорядоченным (совершенное множество), а отношение предпочтения является транзитивным.

Измерение предпочтений.

Для принятия решений по заданному предпочтению (транзитивному и совершенному) , остается преодолеть вычислительные трудности. Конечно вычисление значительно легче производится если предпочтение измерить и заменить числовым показателем качества. Если это можно сделать, то мы получаем функцию полезности или качества.

По схеме:

X>Y : U(x)>U(y)

Здесь при известной функции полезности для оптимального решения достаточно найти максимальную функцию полезности. Это достигается с помощью методов классического анализа.

Что касается вычислений по заданным предпочтениям, то для такого рода вычислений построена аксиоматическая теория решения, в которой ограничиваются с помощью дополнительных условий, характеристики предпочтений. Эти условия называются аксиомами. Существует 2 типа аксиом:

-система аксиом Нэша (50г.г.)

-система аксиом Эрроу-Гурвича

ПР. 1. Преобразование альтернатив носит линейный характер.

2. Наблюдается оптимальность по Парето.

3. Независимость от несущественных альтернатив.

4. Аксиома симметрии.

Если статус всех участников переговоров равный, то равными должны быть и получаемые ими оптимальные величины полезности.

Рассмотренная система бинарных отношений моделирует свойства сложной системы симаотического типа. Но иногда требуется на основании свойств бинарных отношений получить некоторые интегральные свойства системы.

ПР. Совокупность избирателей: каждый избиратель имеет свой набор предпочтений, а нас интересует, какое предпочтение окажет общество в целом выдвигаемым кандидатам.

В экологии: каждая лиса в популяции имеет свою систему предпочтений: полевка, рыба, курица; курица, полевка, рыба; и т.д. Семиотическая модель дает картину в целом. Но эколога интересует итоговое предпочтение популяции, как таковой.

В результате теоретических работ Эрроу были выдвинуты требования к правилам групповых решений, которые отражают практическую обусловленность задачи. Они получили название классических аксиом Эрроу. Задача принятия групп решений была строго формализована. И была предпринята попытка доказать существование решения этой задачи, при выполнении этих условий. Был доказан отрицательный результат о существовании подобного решения. Это знаменитый парадокс Эрроу: нет правил групп решений, удовлетворяющим всем условиям. Однако если отбросить некоторые из этих условий, то существует несколько правил групповых решений.

Заданы предпочтения на множество X_i, Y_n

{>i}

Групповым решением называется правило, согласно которому каждому набору предпочтений ставится в соответствии окончательное предпочтение Х.

{>i}  _n X

1. Аксиома универсальности.

Правило группового решения определено для всевозможных наборов индивидуальных предпочтений. Считая, что число индивидов не меньше двух, а альтернатив не меньше трех.

2. Положительная связь.

Решение не должно меняться, если индивидуальное предпочтение в парных сравнениях либо не меняется, либо меняется в пользу Х.

3. Независимость от несущественных альтернатив.

4. Суверенность граждан.

Для каждой пары альтернатив существует набор индивидуальных предпочтений.

5. Отсутствие диктатора.

Существует индивид i₀, который принимает решение X_i0 > Y_i0 , и из=за которого множество делает как он Х>Y.

1). Правила большого большинства.

В целом эти правила не работают, так как они приводят к нетранзитивным предпочтениям.

2). Правила больших оценок Кокленда. Работает, если отбросить аксиому независимости от несущественных альтернатив.

U(x) = (a_i(x) – b_i(x))

a – число альтернатив, хуже альтернативы Х

b – число альтернатив, лучше альтернативы Х

X>Y, U(x)>U(y)

Литература:

Моисеев Н. «Математик задает вопросы» , Знание, М., 74г.

«Имитационные модели» (Наука и человек)

Нейло Т.Н. «Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем»

Форрестер ДЖ. «Мировая динамика» Наука, 78г.

«Динамика города»

Шеннен К. «Имитационное моделирование» 79г.