Лабораторная работа № 2

Исследование временных характеристик типовых линейных звеньев (безинерционное звено, апериодическое звено первого порядка, колебательное звено, идеальное интегрирующее звено, идеально дифференцирующее звено)

1. Цель лабораторной работы

Целью лабораторной работы является закрепление теоретических знаний о временных характеристиках типовых линейных звеньев путем экспериментального исследования с помощью измерительных средств виртуальной электронной лаборатории на персональном компьютере на базе программы VisSim.

2. Задачи лабораторной работы

К задачам лабораторной работы относятся:

1. Освоение методов экспериментального исследования и анализа линейных систем с помощью измерительных средств виртуальной электронной лаборатории на персональном компьютере на базе программы VisSim.

2. Построение и анализ переходных характеристик безинерционного звена, апериодическое звена первого порядка, колебательного звена, идеального интегрирующего звена, идеального дифференцирующего звена.

3. Краткие теоретические сведения.

3.1. Безынерционное звено.

Это звено не только в статике, но и в динамике описывается алгебраическим уравнением

x₂(t) = Kx₁ (t) ( 1)

Применяя преобразование Лапласа, получим:

x₂(p) = Kx₁ (p)

Отсюда передаточная функция звена равна постоянной величине:

W (р) = = К

Примером такого звена являются механический редуктор (без учета явления скручивания и люфта), безынерционный (широкополосный) усили­тель, делитель напряжения и т. п. Многие датчики сигналов, как, например, потенциометрические датчики, индукционные датчики, вращающиеся транс­форматоры и т. п., также могут рассматриваться как безынерционные звенья.

Переходная функция звена может быть получена подстановкой в уравнение ( 1 ) x₁ (t) = 1(t):

h(t) = K 1(t)

Переходная функция звена представляет собой ступенчатую функцию.

Функция веса получается подстановкой в уравнение (1) x₁ (t) = 8 (t) :

w(t) = K 8 (t)

Функция веса представляет собой импульсную функцию, площадь которой равна К.

3.2.Апериодическое звено 1-го порядка.

Апериодическое звено первого порядка описывается диффе­ренциальным уравнением

Т + x₂ = Kx₁ ( 2 )

Применяя преобразование Лапласа, получим:

Tp X₂ (p) + X₂ (p) = K X₁ (p)

Отсюда передаточная функция звена равна постоянной величине:

W (р) = = (3)

Переходная функция получается путем подстановки в уравнение (2) x₁ (t) = 1(t) и его решения:

h(t) = K ( 1 – е ^–t/T) 1(t)

Функция веса может быть получена так:

w(t) = = е ^–t/T 1(t)

Графики этих функций имеют вид:

Как видно из графиков, переходные характеристики представляют собой монотонные функции времени, по ним можно определить такие параметры, как коэффициент усиления, равный установившемуся значению h(); постоянную времени, равную интервалу времени T от точки касания переходной функции до точки пересечения касательной с ее асимптотой.

3.3.Идеальное интегрирующее звено.

Примером интегрирующего звена являются счетчики, суммирующие расход вещества или энергии за определенный промежуток времени, уровень в емкости и т.п. Это звено описывается дифференциальным уравнением

= k x₁ (4)

Применяя преобразование Лапласа, получим:

рx₂(p) = Kx₁ (p)

Отсюда передаточная функция звена равна постоянной величине:

.

Переходная функция звена может быть получена подстановкой в уравнение ( 4 ) x₁ (t) = 1(t) и его решением

h(t) = К = К t 1(t)

Переходная функция звена представляет собой линейновозрастающую функцию.

Функция веса получается так :

Функция веса представляет собой ступенчатую функцию.

Таким образом, при подаче на вход интегрирующего звена постоянного неисчезающего возмущения выходная координата увеличивается до бесконечности с постоянной скоростью, т.е. отличительной особенностью является тот факт, что переходная функция не имеет установившегося (при t  ) конечного значения. Это свойство является причиной принципиального отличия астатических систем автоматического регулирования, содержащих интегрирующее звено, от статических систем, которые не содержат этого звена.

3.4.Идеальное дифференцирующее звено.

Идеальное дифференцирующее звено описывается диффе­ренциальным уравнением

x₂ = K (5)

Применяя преобразование Лапласа, получим:

Отсюда передаточная функция звена равна постоянной величине:

W (р) = = Кр (6)

Переходная функция получается путем подстановки в уравнение (6) x₁ (t) = 1(t) и его решения:

h(t) = K 8 (t)

Функция веса может быть получена так:

w(t) = = К

Графики этих функций имеют вид:

3.5. Колебательное звено.

Колебательное звено является звеном второго порядка и описывается дифференциальным уравнением второго порядка:

(7)

Применяя преобразование Лапласа, получим:

Передаточная функция имеет вид:

Переходная функция получается путем подстановки в уравнение (7) x₁ (t) = 1(t) и его решения:

Дифференцируя, получаем функцию веса:

Графики переходной функции и функции веса имеют вид