Найдем вероятность на 1 меньше:
P k , k - 1 ( ) = P { ( t + ) = k - 1 | ( t ) = k } =
P { ( t + ) = k - 1 , A 0 | ( t ) = k } + P { ( t + ) = k - 1 , A 1 | ( t ) = k } +
+ P { ( t + ) = k - 1 , B 2 | ( t ) = k }.
P { ( t + ) = k - 1 , A 0 | ( t ) = k } = 0
P { ( t + ) = k - 1 , B 2 | ( t ) = k } =
P { ( t + ) = k - 1 , A 1 | ( t ) = k } = { событие должно завершиться. Идет
операция обслуживания в одном из каналов и ничего не должно поступать } =
{ все эти события
несовместны, поэтому можно записать сумму вероятностей } =
=
( t ) – остаточное время от t до поступления требования.
i , t - от t до окончания обслуживания.
P ( t < x ) = 1 - ℓ - x , P ( i , t < x ) = 1 - ℓ - x
( в силу свойства отсутствия последействия )
P k , k - 1 (
) =
( 2 )
Аналогично можно получить:
P k , k - 1 ( ) =
Найдем вероятность остаться в состоянии k:
P k , k = P { ( t + ) = k | ( t ) = k } = P { ( t + ) = k , A 0 | ( t ) = k } +
+ P { ( t + ) = k , A 1 | ( t ) = k } + P { ( t + ) = k , B 2 | ( t ) = k }.
P { ( t + ) = k , A 1 | ( t ) = k } - одна операция закончилась и при этом ничего
не изменилось.
P {
( t +
) = k , B 2
| ( t
) = k } =
.
P { ( t + ) = k , A 0 | ( t ) = k } = { ничего не поступает, ничего не
обслуживается } =
P ( t > ) =
=
( 3 ) P k , k - 1 ( ) =
Из соотношений ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) получаем определение ПГР.
Вывод: Наш процесс ( t ) - ПГР.
В этом ПГР имеются интенсивности перехода:
Из теории ПГР: предельные распределения ПГР ( t )
k = 1
Найдем стационарные вероятности. Из теории ПГР известно, что предел распределения записывается так:
Замечание. Зная это распределение, можно записать характеристики (стационарные).
Стационарные характеристики системы
1) Вероятность потери требования = P n + N
2) Распределение длины очереди
- случайная длина очереди, { 0 , 1 , …, N }
Математическое ожидание очереди
3) Распределение времени ожидания в очереди до начала обслуживания
- случайное время от поступления требования до начала обслуживания.
A k – в установившемся режиме в системе находится “ k “ требований,
k = 0 , 1 , …, n + N
P ( A k ) = p k ( из формулы ( 6 ) ).
Если число требований n + N , то поступившее требование теряется: = .
P ( = ) = P n + N > 0
- несобственная случайная величина, M = .
Рассмотрим случай, когда = , т.е. число требований меньше n + N (есть
места).
Рассмотрим распределение:
Тогда введем следующие вероятности:
Рассмотрим два случая:
-
Есть свободные приборы:
P
(
= 0 |
) = { число требований < n
} = -
ждать мы не будем
2) Пусть в момент t поступления нашего требования в системе находится k
требований ( k = n , n +1 , … , n + N – 1 ).
Рассмотрим:
-
1
Обозначим 1 ( 1 ) , … , n ( 1 ) –
случайные длительности от t до
окончания обслуживания (остаточные
длительности обслуживания).
2
3
n
Обозначим
1 = min ( 1 ( 1 ) , … , n ( 1 ) )
Через время 1 уйдет из системы первое требование и система продвинется.
По свойству экспоненциального распределения
Обозначим t 1 = t + 1 – время ухода (момент ухода ) первого требования из
системы.
Пусть 1 ( 2 ) , … , n ( 2 ) – случайные длительности от t 1 до окончания
обслуживания требований.
-
в
силу свойства отсутствия последействия
2 = min ( 1 ( 2 ) , … , n ( 2 ) ) . 2 имеет такое же распределение, как 1:
.
В момент t 2 = t 1 + 1 + 2 из системы уходит второе требование и т.д.
Чтобы наше требование начало обслуживаться, оно должно пройти k – n + 1 требование, т.е. в момент t + 1 + 2 + … + k – n + 1 уходит очередное ( k – n + 1)-е требование.
Итак, при условии случайная величина = 1 + 2 + … + k – n + 1 -
имеет распределение Эрланга порядка k – n + 1 с параметром n .
Следовательно запишем распределение Эрланга:
= P ( 1 + 2 + … + k – n + 1 < x ) =
─────┬──────┬────┬─────┬──
По формуле полной вероятности:
= =
Процессы восстановления
П
оток
задается последовательностью { t
n
= t
n
(
) , 1
n
<
} случайных величин, определяющих
моменты поступления требований.
П
оток
можно определить, задавая последовательность
интервалов между моментами поступления соседних вызовов
Определение:
Случайный поток однородных событий
называется потоком
с ограниченным последствием,
если случайные величины
взаимно независимы (т.е. будущее не
зависит от прошлого)
Из
определения следует что для того чтобы
задать поток с ограниченным последействием
достаточно задать последовательность
распределений
Определение
: Поток с
ограниченным последействием, для
которого
называется рекуррентным
потоком с запаздыванием или процессом
восстановления с запаздыванием
Поток
с ограниченным последействием для
которого
при
называется
рекуррентным или простым процессом
восстановления.
В
дальнейшем будем иметь ввиду :
Для
простого процесса восстановления,
характеризуемого функцией распределения
,
обозначим через
число восстановлений (требований,
вызовов) произошедших до момента
,
а через
-
функцию восстановления, которая
определяется равенством
(1)
Обозначим
-момент
k-го
восстановления (
),
Тогда по определению процессов
восстановления,
-последовательность
независимых в совокупности случайных
величин с законом распределения
.
Выразим вероятность
через
вероятности
Имеет
место равенство
,
которое следует из определения случайной
величины
.
Событие
представим
в виде суммы двух несовместных событий
:
.
Тогда
(2)
Подставляя (2) в (1) получим:
(3)
где
-n-кратная
свертка закона F(t),
причем
(4)
Распределение
случайной величины
м
представить в виде n-кратной
свертки закона F(t),
так как
-независимые
в совокупности случайные величины и
Теперь
используя (3) выведем интегральное
уравнение восстановления связывающее
функцию восстановления H(t)
и функцию распределения
случайных
величин
Из определения свертки двух функций распределения следует :
(5)
Используя (3) и (4) запишем :
Но
из (3) имеем
следовательно
искомое интегральное уравнение
восстановления
,
если последний интеграл взять по частям
и учесть F(0)=0,
H(0)=0,
то
Элементарная теорема восстановления
Пусть
H(t)
– функция восстановления простого
процесса восстановления, определяемого
распределением
- функция восстановления процесса
восстановления с запаздыванием,
определяемого распределениями
,
тогда
существуют и
Узловая теорема восстановления
Пусть
функция
есть
неотрицательная невозрастающая функция,
и неинтегрируемая в пределах
.
Тогда при
:
Эти условия можно оставить или усилить:
-
Q(x) – ограниченное изменение
-
Пусть
в последовательности
взаимно
независимых неотрицательных случайных
величин
.
Величины
образуют альтернирующий процесс
восстановления.
Для
произвольного
обозначим
через
вероятность того, что момент t
попал на нечетный интервал (точнее
момент
накрывается нечетным интервалом)
(1)
Требуется определить
Последовательность
образует простой процесс восстановления
с функцией распределения :
H
( t
) – функция восстановления этого
процесса; d
H
( t
) – вероятность, что в бесконечно малой
окрестности
произошло восстановление. Тогда в
соответствии с равенством ( 1 ) имеем
:
(
2 )
г
де
= 1 –
Функция
удовлетворяет всем требованиям узловой
теории. Поэтому
и равен
( 3 )
Для нестационарного случая при fix t из ( 2 ) можно определить преобразования Лапласа – Стильтыса
:
т.к. , получаем
( 4 )
Поскольку ( 0 ) = 1, то
( 5 )
Если альтернирующий процесс восстановления 0 , 1 … начинается с периода 0 , распределенному по закону F 0 = P ( 0 < x ) , то для этого случая имеем:
(
t ) = P (
0
< t
0
+
1
)
+
Т
огда
где ( t) – вероятность того, что момент t накрывается нечетным интервалом 2 k + 1 .
Теорема Блэкуэлла. Пусть есть процесс восстановления с запаздыванием.
{ t n }, функция восстановления его : H 1 ( t ) ,
F ( t ) – функция распределения представляет нерешетчатое
распределение
F ( t ) = P ( k < t ) , k 2
Тогда
приращение функции восстановления
- математическое ожидание M k ; k ?
- среднее число восстановлений в единицу времени.