Совместная плотность распределения значений случайного процесса

 ( t ₀ ),  ( t ₁ ) , …,  ( t _n ), n  1 :

P ( t ₀ , t ₁ , …, t _n ; x ₀ , x ₁ , …, x _n ) =

= p ₀ ( x ₀ ) p ( t ₀ , x ₀ , t ₁ , x ₁ ) … p ( t _n -₁ , x _{n -1}, t _n , x _n ) ( 4 )

p ₀ ( x ₀ ) – плотность начального распределения Р₀ ( в момент t ₀ ). Чаще t ₀ = 0.

x ₀ , x ₁ , …, x _{n ,} x _i  R – вещественные числа.

Лекция № 8

Условная плотность

P ( t ₁ , t ₂ , …, t _n ; x ₁ , x ₂ , …, x _n | t ₀ , x ₀ ) =

= P _x ( t ₁ , …, t _n ; x ₁ , …, x _n )

{ = p ( t ₀ , x ₀ ; t ₁ , x ₁ ) … p ( t _n -₁ , x _{n -1}, t _n , x _n ) } ( 5 )

Чаще всего полагается t ₀ = 0 :

Можно задавать марковский процесс двояко: либо фиксируем начальное состояние и переходные плотности знаем; либо не знаем начальное состояние.

В дальнейшем будем предполагать, что заданы плотности вероятностей перехода:

р ( s, x ; t _, y ) 0  s < t , х, y  R.

Определение. Марковский процесс  ( t ) будем называть однородным, если

р ( s, x ; t _, y ) = р ( t - s ; x _, y ), t > s , т.е. плотность вероятности перехода зависит от разности временных параметров :

р ( s, x ; t _, y ) = р (  , x _, y ),  = t - s.

Запишем для однородного марковского процесса  ( t ) уравнение Колмогорова – Чепмена для плотностей вероятности перехода :

р ( t +  ; x _, y ) = ∫ p ( t ; x , z ) p (  ; z , y ) d z ( 6 )

Из ( 5 ) :

P ( t ₁ , t ₂ , …, t _n ; x ₁ , x ₂ , …, x _n | t ₀ , x ₀ ) =

= p ( t ₁ - t ₀ ; x ₀ , x ₁ ) p ( t ₂ - t ₁ ; x ₁ , x ₂ ) … p ( t _n - t _{n - 1} ; x _{n - 1}, x _n ) ( 7 )

Процессы с независимыми приращениями

Определение 1. Случайный процесс  ( t ) с непрерывным временем t  T будем называть процессом с независимым приращением, если для  временных параметров

t ₀  t ₁  …  t _{n ,} t ₀ , t ₁ , …, t _n  T

случайные величины

 ( t ₀ ),  ( t ₁ ) -  ( t ₀ ), …,  ( t _n ) -  ( t _{n - 1} ) – независимы в совокупности.

Определение 2. Процесс с независимым приращением  ( t ) имеет однородные приращения, если распределение случайных величин  ( t +  ) -  (  ) не зависит от начальной точки  ≥ 0 , а зависит только от длины интервала t .

Отметим, что процессы с независимыми приращениями

являются марковскими процессами. Кроме того, характер

t множества состояний Х не оговаривается, т.е. может быть

───┬──────┬──── и дискретным, и непрерывным. В частности, для

τ t + τ

дискретного Х процесс Пуассона является процессом с независимыми одноразовыми

приращениями дискретно ( процесс Пуассона)

Х

непрерывно

Вообще говоря, процесс Пуассона можно определить следующим образом:

Пуассоновский процесс – это случайный процесс  ( t ) с непрерывным временем и дискретным множеством состояний, для которых выполнены условия:

1.  ( t ) – процесс с независимыми однородными приращениями;

2. распределение приращений Пуассоновское с параметром λ t :

P { ξ ( t +  ) - ξ (  ) = n } = e ^{-  х} , λ > 0,   0, n = 0, 1, 2 …

Винеровский процесс

Определение 1. Винеровским процессом ξ ( t ) называется такой случайный процесс с

непрерывным временем t  [ 0,) и непрерывным множеством

состояний X = R , обладающий следующими свойствами :

1.  ( t ) – процесс с независимыми однородными приращениями;

2. приращение процесса ξ ( t +  ) - ξ (  ) распределены по нормальному закону

с параметрами a t ,  ² t .

ξ ( t +  ) - ξ (  ) ~ N ( a t ,  ² t )

3.  ( 0 ) = 0 - этот процесс выходит из нуля.

Винеровский процесс является Марковским.

a - коэффициент сноса

 ² – коэффициент диффузии.

Винеровский процесс иногда называют процессом броуновского движения.

Рассмотрим новый процесс :

 ₀ ( t ) – применим стандартную нормировку, т.е.

M  ₀ ( t ) = a ₀ = 0

 ₀ ( t ) = 

D  ₀ ( t ) = t

W ( t ) = ξ ₀ ( t ) = ~ N ( a , t )

стандартный Винеровский процесс

Т. е., если рассмотреть  ₀ ( t ) =  линейное преобразование исходного

процесса, то у  ₀ ( t ) a ₀ = 0,  ₀ = 1.

Т.к. ξ ( t ) = ξ ( t ) - ξ ( 0 ) ; ξ ( t ) – нормальное распределение с параметрами ( a t ,  ² t ).

Для  ₀ ( t ) распределение  ₀ ( t ) – нормальное распределение с параметрами ( 0, t ),

т.е. M  ₀ ( t ) = 0 , D  ₀ ( t ) = t.

Определение 2. Случайный процесс W ( t ) = ξ ₀ ( t ) – называется стандартным Винеровским процессом.

Для стандартного винеровского процесса плотность перехода можно записать так:

р ( s, x ; t _, y ) = , t > s ( 1 )

если t = s +  , то

р ( s, x ; t , y ) = р (  ; x , y ) = ( 2 )

Вероятность перехода:

(x)

Р ( s, x ; t _, B ) = ∫ р ( s, x ; t _, y ) d y =

_{( -  )}

борелевские множества в R Если В - [ 0, ) , то у нас

возникает обычная функция распределения

Совместная плотность распределения значений w ( t ₁ ), w ( t ₂ ), …, w ( t _n ); w ( t ₀ ) = 0,

т. е. t ₀ = 0, х ₀ = 0 :

p _х ( t ₁ , t ₂ , …, t _n ; x ₁ , x ₂ , … , x _n ) = p ₀ ( t ₁ , t ₂ , …, t _n ; x ₁ , x ₂ , …, x _n ) =

= р ( 0, 0 ; t ₁, x ₁ ) p ( t ₁, x ₁ ; t ₂, x ₂ ) … p ( t _{n – 1} , x _{n - 1}; t _n , x _n ) =

_{( 1 )} каждая из этих функций - плотность нормального распределения

=== р ( t ₁ ; 0 , x ₁ ) р ( t ₂ - t ₁ ; x ₁ , x ₂ ) … p ( t _n - t _{n - 1} ; x _{n - 1}, x _n ) =

_{( 2 )}

=== … ( 3 )

Лекция № 9

Теорема. ( об условном распределении значений винеровского процесса W ( t ) при фиксированных концах траектории).

Условное распределение значений винеровского процесса w ( t ) при условии:

t ₀ < t ₂ < t ₁, t ₀ , t ₁ - фиксированы, w ( t ₀ ) = a ₀ , w ( t ₁ ) = a ₁ – нормальное ( Гауссовское ) распределение с математическим ожиданием

M [ w ( t ) | w ( t ₀ ) = a ₀ , w ( t ₁ ) = a ₁ ] = a ₀ +

и дисперсией

D [ w ( t ) | w ( t ₀ ) = a ₀ , w ( t ₁ ) = a ₁ ] =

Доказательство. (краткое).

Рассмотрим совместные плотности винеровского процесса w ( t ) в моменты времени s, u , 0 < s < u , w ( 0 ) = 0;

Р ₀ ( s, u ; х , y ) =

совместная плотность

По формуле для условной плотности плотность значения w ( s ) при условиях

w ( 0 ) = 0 , w ( u ) = y :

Р ₀ ( s, u | х ,y ) = = =

=

условное математическое ожидание

= ( 1 )

дисперсия

Полученное выражение ( 1 ) - это плотность нормального распределения , для которого математическое ожидание и дисперсия даются следующим образом :

M [ w ( s ) | w ( 0 ) = 0 , w ( u ) = y ] =

( 2 )

D [ w ( s ) | w ( 0 ) = 0 , w ( u ) = y ] =

В частности, если u = 1 , y = 0.

		M [ w ( s ) | w ( 0 ) = 0 , w ( 1 ) = 0] = 0 D [ w ( s ) | w ( 0 ) = 0 , w ( 1 ) = 0] = s (1 – s )

Рассмотрим распределение случайной величины w ( t ) при условии w ( t ₀) = a ₀ ,

w ( t ₁) = a ₁.

P { w ( t ) < z | w ( t ₀ ) = a ₀ , w ( t ₁) = a ₁ } =

= P ( w ( t - t ₀ ) < z - a ₀ | w ( ₀ ) = 0 , w ( t ₁ - t ₀ ) = a ₁ - a ₀ }

t - t 0 t 0 t t 1					t

Воспользуемся распределением ( 1 ) и положим

s = t – t ₀ , u = t ₁ – t ₀ , x = z - a ₀ , y = a ₁ - a ₀

──┬────────────┬────── t

t – t ₀ t ₁ – t ₀ t

Стартуем из нуля, через ( t ₁ - t ₀ ) времени оказались в состоянии (a ₁ - a ₀ )

w ( t ₁ - t ₀ ) ~ N. Распределение w ( t ₁ - t ₀ ) при условии w ( ₀ ) = 0 , w ( t ₁ - t ₀ ) = a ₁ - a ₀

- нормальное со следующими параметрами:

M [ w ( t ) w ( t ₀ ) = a ₀ ; w ( t ₁) = a ₁ ] = M [ w ( t - t ₀ ) + a ₀ | w ( 0 ) = 0 ;

w ( t ₁ - t ₀ ) = a ₁ - a ₀ ] =

D [ w ( t ) w ( t ₀ ) = a ₀ ; w ( t ₁) = a ₁ ] = D [ w ( t - t ₀ ) + a ₀ | w ( 0 ) = 0 ,

w ( t ₁ - t ₀ ) = a ₁ - a ₀ ] =

Из доказанного можно получить, что распределение случайной вероятности w ( t ) при наших условиях совпадает с распределением:

P { w ( t ) < z | w ( t ₀ ) = a ₀ , w ( t ₁) = a ₁ } =

= P { a ₀ + w ( t - t ₀ ) + ( a ₁ - a ₀ ) < z | w ( ₀ ) = 0 , w ( t ₁ - t ₀ ) = a ₁ - a ₀ }

Аналогично, пусть t ₀ = 0 , t ₁ = τ > 0

= + w ( t - t ₀ ) = a ₀ + ( a ₁ - a ₀ ) + w ( t ) =

= a ₀ ( 1 - ) + a ₁ + w ( t )

Это вспомогательный процесс .

= a _{0 ;} = a ₁ + w ( τ )

Введем новый случайный процесс, чтобы сдвинуть w ( τ ) :

= - w ( τ ) = a ₀ ( 1 - ) + a ₁ + w ( τ ) - w ( τ ) ( 3 )

фиксированное значение процесса в момент τ

при t = τ будет a ₁ .

= a ₀ ; = a ₁

Определение. Случайный процесс задаваемый соотношением ( 3 ), где w ( t ) –стандартный винеровский процесс называющейся Броуновским мостом.

Его математическое ожидание:

M = a ₀ ( 1 - ) + a ₁ ;

( s, t ) = min ( s, t ) - ─ корреляционная функция s, t < ( 0, τ ).

Для винеровского процесса:

M w ( t ) = 0 ; ( s, t ) = min ( s, t )

корреляция

k ( s, t ) = M ( ξ ( s ) – M ( ξ ( s ) ) – ( - M ( ) = M ξ ( s ) - M ξ ( s ) M

(если s и t совпадают, то это - дисперсия процесса ).

Пусть ~  ( λ )

P { = k } =

ξ ( 0 ) = 0

s < t

= ( ξ ( s ) – ξ ( 0 ) ) + ( - ξ ( s ) )

k ( s, t ) = M ( ξ (s ) – M ξ ( s ) ) ( ξ ( s ) - M ξ ( s ) + [ ξ ( t ) - ξ ( s ) – M ( ξ ( t ) – ξ ( s ) ] =

= D ξ (s) + M ( ξ (s) – M ξ (s) ) M ( ξ (t ) – ξ (s) ) – M ( ξ (t ) – ξ (s) ) ( M ( ξ (s) – M ξ (s) ) =

= D ξ ( s ) = равняется нулю

куда пропало t ? – t ушло в условие s < t.

k ( s, t ) = λ min ( s, t )

Проделать то же самое для других рассматриваемых процессов.

Лекция № 10

Свойства траекторий винеровского процесса

Теорема 1. Существует непрерывная модификация винеровского процесса, т.е. все его траектории являются непрерывными функциями с вероятностью равной единице.

Доказательство.

Применим теорему Колмогорова о существовании процесса с заданными непрерывными траекториями.

M |  ( t + h ) -  ( t ) | ^a ≤ c h ^{1 + b} a > 0

b > 0

0 ≤ c < 

Рассмотрим приращение винеровского процесса ξ ( t ) на ( t, t + h ) :  ( t + h ) -  ( t ). Это приращение имеет нормальное распределение с параметрами 0 и среднеквадратичное отклонение N ( 0, ) – нечетные центральный моменты равны нулю; четные вычисляются по определенной формуле.

Рассмотрим момент четвертой степени:

M |  ( t + h ) -  ( t ) | ⁴

Заметим, что М |  | ⁴ = М  ⁴ (момент и центральный момент совпадают).

Если обозначить:

 =  ( t + h ) -  ( t ) , то М  = 0, т.е. М (  - М  ) ⁿ = М  ⁿ =  _n

Для нормального распределения:

 ₄ = М (  - М  ) ⁴ = M (  ( t + h ) -  ( t ) ) ⁴ = 3 ( ) ⁴ = 3 h ²

т.о. M |  ( t + h ) -  ( t ) | ⁴ = 3 h ² , т.е. выполнено условие теоремы Колмогорова (верно для  винеровского процесса).

Или:

 ( h ) ~ N ( 0, h )

M  ²ⁿ = ( 2n – 1 ( 2n – 3 ) … ( 5 – 3 ) 1  ^{2 n} = ( 2 n ) !!  ^{2 n}

  ( t + h ) -  ( t )

М  = 0, М (  - М  ) ⁿ = М  ⁴

М  ⁴ = 3 ( ) ⁴ = 3 h ² проверили

Теорема 2. С вероятностью равной 1 траектории винеровского процесса ни в одной точке t не имеет производной, т.е.   T = [ 0;  ).

P  :  = 1 не существует конечного продела, т.е. 

( без доказательства)

Свойства траекторий

Можно представить винеровский процесс, как процесс симметричных случайных блужданий по целочисленным точкам.

R						По какой переменной брать предел? Функция непрерывна, но недифферинцируема ни в одной точке. В качестве множества состояний можно рассмотреть R n . Если dim x = dim R m = m  3, то вероятность того, что процесс, выйдя из единичного шара U  R 3 , U = { x : | x | < 1 } и вероятность возвращения в него меньше 1.
					t
Если множество X = R2 или X = R1 вероятность возвращения равна 1.

Можно представить винеровский процесс как lim симметричных случайных блужданий по целочисленным ( )  свойства случайных блужданий выполнены.

Распределение функционалов от винеровского процесса

1. Распределение максимума винеровского процесса:

при x > 0 P ( sup w ( s ) < x ) =

P ( sup w ( s ) > x ) = 2 P ( w ( t ) > x )

написать самостоятельно

2. Распределение момента 1-го происхождения заданного уровня:

			Процесс вышел из 0 и в какой-то момент достиг точки x. Как устроено распределение момента достижения значения x ?  x = inf { t : w ( t ) > x } P  x < s = s > 0
	 x t

3. Совместное распределение максимального значения процесса на интервале ( 0, t )

Пусть а > 0, x < a

P ( sup w ( s ) < a , w ( t ) < x ) =

4. Распределение момента 1-го выхода из заданного отрезка (можно добавить, что до этого процесс там был).

 _x = inf { t : w ( t )  [ a, b] } a < 0 < b

P { w ( ) = b} = P { w ( ) = a} =

P {  < t , w ( t ) = a} =

Стохастический функционал (ИТО)

,  ( t ) -  (w, t ) – случайный процесс

Определение. Случайный процесс  ( t ) – будем называть неупреждающим по отношению к w ( t ), если для  t приращение w ( t +  ) - w ( t ),  > 0 не зависит от  ( s ) , s ≤ t , т.е. от предшествующих значений  ( t ).

Построим стохастический функционал для кусочно-постоянной  ( t ).

 (s) =  (  k ) ,  k ≤ s ≤  k + 1, k = 0, 1,…, n – [  k ,  r + 1), k = 0, 1,…, n – 1,  0 = t 0,  n = t 1 принимает на [ ] одно значение.

Для кусочно-постоянной  ( t ) определим функционал:

= ( 1 )

Δ w (  _k ) = w (  _{k - 1} ) - w ( _k ), k = 0, 1,…, n – 1

Свойства функционала ( 1 ): линейность, однородность.

( 2 )

( 2 ) - свойство линейности

Заметим, что т.к. процесс неупреждающий, можно записать:

1. M [  ( _k ) Δ w (  _k ) ] = M  (  _k )

равно нулю, т.к. процесс стандартный, винеровский  0

в силу свойств независимости

2. M [  ( _k ) Δ w (  _k ) ] ² = M ² (  _k ) M [ Δ w (  _k ) ] ² = M ² ( _k ) Δ  _k =

дисперсия равна длине ( ) – ла совпадение моментов

= M ² ( _k ) [  _{k + 1} -  _k ] , k = 0, 1,…, n – 1, k  j ( k < j ) .

∆  _k

3. M [ ( _k ) Δ w ( _k )  ( _j ) Δ w ( _j )] = M [  ( _k ) Δ w ( _k )  ( _j )] M [Δ w ( _j )] = 0

0

Лекция № 11

Обозначим эти свойства 1 – 3 как: ( 3 ).

Рассмотрим математическое ожидание ( 1 ) :

( 4 )

Подсчитаем корреляционную функцию для двух интервалов.

Если  ,  - произвольные случайные величины, то (взаимно) корреляционная функция – это:

K _{ } = M [ (  - M  ) (  - M  ) ]

Рассмотрим математическое ожидание произведения двух интегралов:

( 5 )

В частности, если  ( t ) =  ( t ) :

( 6 )

Введем норму в нашем пространстве кусочно-непрерывных функций :

С учетом этого определения ( 6 ) можно переписать следующим образом:

( 7 )

Предположим, что случайный процесс  ( t ) на [ t ₀ , t ₁ ] может быть представлен как среднеквадратичный предел кусочно-постоянных функций:

, равномерно сходящимся по t  [ t 0 , t 1 ] , {  n ( t ) } – последовательность кусочно – постоянных ( кусочно – непрерывных ) функций.

Тогда можно сделать следующую оценку:

n, m   равномерно по t

( доказано, что последовательность фундаментальная )

Последовательность – фундаментальна. Тогда проведем то же самое для интегралов:

( 8 )

последовательности функционалов ИТО фундаментальны.

Вывод: Если последовательность кусочно-постоянных функций имеет среднеквадратичный предел, то из ( 8 )  , что последовательность

• функциональная последовательность.

Эта последовательность к чему-то сходится в среднеквадратичном и это мы назовем стохастическим интегралом ИТО от случайной функции  ( t ).

стохастический интеграл ИТО от

случайной функции  ( t ).

Заметим, что в силу фундаментальности этот предел существует и он не зависит от последовательности.

Замечание о существовании.

Для равномерно непрерывных в среднеквадратичном случайных функций  ( t ) на [ t ₀ , t ₁ ] имеет место следующее свойство:

						, для которой равномерно
Стохастический интеграл

Замечание. Предел интегральных сумм зависит от выбора внутренней точки.

Свойства интегралов ИТО:

1. Интеграл  , если подинтегральные функции являются кусочно-постоянными.

не обязательно кусочно-постоянная функция

3. Формула для корреляции:

4. Формула для интегрирования степени:

В частности, при n = 1:

Лекция № 12

Стохастические дифференциалы и стохастические дифференциальные уравнения

Определение 1. Случайные процесс  ( t ) =  _t , t  0 , заданный на вероятностном пространстве (  ,  , P ) называется процессом ИТО, если  два неупреждающих процесса a (  , t ) и b (  , t ) ,    , t  0 , для которых выполнено условие:

( 1 )

( 2 )

и таких, что процесс  ( t ) представим в виде:

( 3 )

где w ( s ) – стандартный винеровский процесс,

 ₀ – некоторая случайная величина, которая играет роль начального

значения  (0) =  ₀ .

Говорят так же, что процесс ИТО имеет стохастический дифференциал и условно вместо соотношения ( 3 ) используют запись:

( 4 )

Стохастические интегралы в видах ( 1 ) и ( 2 ):

и по неслучайной мере строятся аналогично

стохастическому интегралу ИТО.

Пусть u ( t , x ) , ( t , x )  R ₊ = [ 0,  ) x  R , определена на декартовом произведении. Пусть  ( t ) - случайный процесс ИТО, для которого имеется стохастический дифференциал ( 4 ).

Рассмотрим процесс  ( t ) = u ( t ,  ( t ) ) – “сложная функция” ( с помощью некой функции преобразовали процесс  ( t ) , получили новый процесс).

Как найти стохастический дифференциал d  ( t ) ? На этот вопрос дал ответ теоретик ИТО с помощью своей теории.

Теорема. Пусть u ( t , x ) – непрерывная ( по совокупности переменных) , ( t , x )  R ₁  R – вещественная и непрерывная по совокупности переменных функция, для которой  непрерывные частные производные вида:

Пусть  ( t ) - процесс ИТО имеет стохастический дифференциал ( 4 ).

Тогда случайный процесс  ( t ) = u ( t ,  ( t ) ) также имеет стохастический дифференциал, который выражается следующим образом:

( 5 )

Или иначе: при  t > 0 для случайного процесса  ( t ) = u ( t ,  ( t ) ) имеет место следующая формула (формула замены переменных):

( 6 )

Формулы ( 5 ) и ( 6 ) – это формулы ИТО.

Частный случай. ( к теореме, когда  ( t ) - не случайный, а винеровский процесс).

Пусть  ( t ) = w ( t ) – винеровский процесс.

Тогда d  ( t ) = d w ( t ). Сравним с ( 4 ).

Тогда . Тогда из ( 5 ):

Для имеем:

( 7 )

Предположим, что w ( t ) и  ( t ) не случайны.

В классическом анализе для неслучайных функций формула примет вид:

Это связано с тем, что в стохастической модели M [ w ( t +  ) – w ( t ) ] ² =  .

Пример. Вычислим стохастический интеграл:

t > t ₀

Найдем случайный процесс  ( t ) = u ( t , w ( t ) ) такой, что d  ( t ) = w ( t ) d w ( t ).

Тогда:

 ( t ) -  ( t ₀ ) = =

Согласно формуле ИТО ( 7 ):

=

( 8 )

Тогда из ( 8 ) :

( 9 )

( 10 )

Из ( 10 ) : u ( t , x ) =

Подставим в ( 9 ):

Отсюда:

Отсюда:  ( t ) -  ( t ₀ ) = = - =

=

Броуновский мост, как стохастический интеграл

Можно определить броуновский мост ŵ ( t ) – как случайный процесс, удовлетворяющий стохастическому выражению (соотношению ):

С помощью формулы ИТО можно доказать:

( доказательство имеется в книге:

Фазанов, «Случайные процессы», стр.39)

Лекция № 13

Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ)

1. Экономическая основа модели СДУ

Пусть  некоторый случайный процесс s ( t ) = S _t , который описывает динамику цен актива.

Обозначим S _t = S _{t +  t} – S _t изменения за [ t _1, t + t ]

Выпишем следующее представление:

S _t =  t +   _t  t ( 1 )

 ,  - постоянные,  _t ~ N ( 0, 1 ) – стандартная нормальная (гауссовская)

случайная величина.

М S _t =  t ; D S _t =  ² t

Экономическое обоснование вида ( 1 ):

1. Общий вид правой части представляет:

• t - неслучайная часть (основа)

  _t  t - случайная добавка, характеризующая состояние среды и рынка, когда действует много случайных факторов.

2.  t - положительное ожидаемое среднее, чтобы компенсировать

инвестору возможный риск ( положительная тенденция – positive drift ).

 - параметр или скорость тенденции.

3. различные ценные бумаги (активы) характеризуются различной степенью

изменчивости (волатильности). Ближе всего к среднеквадратичному отклонению.  - характеризует степень изменчивости для данной ценной бумаги.

Усложним нашу схему.

Заметим, что в общем случае величины

 =  ( t, S _t ),  =  ( t, S _t ) будут зависеть от времени и состояния актива, т.е.  =  ( t, x ),  =  ( t, x ) - функции, t  R ₊ = [ 0,  ) x  R.

В частности, приращение дохода будет выше, чем выше цена актива. Чем больше объем, тем больше доход.

Модель ( 1 ) можно переписать:

S _t =  ( t, S _t ) t +  ( t, S _t )  _t  t ( 2 )

Но  _t  t - нормальная случайная величина имеет то же самое распределение, что и  w _t = w ( t + t ) – w ( t ) – приращение стандартного винеровского процесса.

Соотношение ( 2 ) можно переписать:

S _t =  ( t, S _t ) t +  ( t, S _t )  w _t ( 3 )

( 3 ) при бесконечно малых  можно переписать:

d S _t =  ( t, S _t ) d t +  ( t, S _t ) d w _t ( 4 )

( 4 ) – динамическая модель цены актива ( ДСУ относительно S _t ).

2. Определение СДУ и его решение.

Предположим, что  процесс ИТО  ( t ), который имеет стохастический дифференциал.

( 1 )

при этом случайные коэффициенты зависят от элементарного исхода  только через значение самого процесса  (  , t ) =  _t (  ).

где функции a ( t , x ) , b ( t , x ) – измеримы на R _t x R .

Определение 1. Соотношение ( 1 ) в другом виде

d t + d w ( t ) ( 2 )

называется СДУ относительно случайной функции  ( t ).

Этому уравнению придается начальное условие:

 (t ₀) =  ₀ ,  ₀ – случайная величина на интервале времени t  t ₀  0.

Определение 2. СДУ ( 2 ) с начальным условием  (t ₀) =  ₀ имеет решение

 (t ) =  _t , t  t ₀ , если для  t > t ₀ выполнены следующие условия:

1.  (t ) =  _t – случайная величина ( измеримая функция на

вероятностном пространстве) .

2) ( 3 )

3) ( 4 )

и при этом с вероятностью 1 имеет место соотношение:

 (t ) =  ( t ₀ ) + + ( 5 )

Замечание. Фактически ( 5 ) - это другая форма ( 2 ), т.е. ( 5 ) можно считать СДУ в другой форме.

Теорема 1. Пусть функции  ( t, x ) ,  ( t, x ) - измеримые (борелевские), заданные на декартовом произведении R ₊ x R , R ₊ = [ 0,  ), R - евклидово пространство, которое удовлетворяет следующим условиям:

1)  n  1  k ( n ) – постоянная такая, что  t  0, | x |  n , | y |  n

имеет место следующая оценка:

| a ( t , x ) – a ( t , y ) | + | b ( t , x ) – b ( t , y ) |  k ( n ) | x – y | ( 6 )

( 6 ) иногда называется локальное условие Липшица.

2)  t  0, x  R имеет место условие:

| a ( t , x ) | + | b ( t , x )  k ( 1 ) | x | ( 7 )

(условие линейного роста)

Тогда  непрерывное решение уравнения ( 2 ), (т.е. почти все траектории с вероятностью 1 являются непрерывными функционалами), причем, если  ₁ (t ) и  ₂ (t ) два непрерывных решения (при одном и том же начальном условии  (t ₀) =  ₀ ), то для  T > t ₀ имеет место следующее свойство:

( 8 )

Это – теорема существования и единственности СДУ.

Замечание.

1. Локальное условие Липшица может заменить  абсолютная константа k > 0

такая, что для  t  0, x , y  R имеет место:

| a ( t , x ) – a ( t , y ) | + | b ( t , x ) – b ( t , y ) |  k | x – y |

2. Единственность в смысле условия ( 8 ) можно расшифровать ( записать более

подробно): если  ₁ (t ) и  ₂ (t ) - два непрерывных решения, то если  ₁ (t ) и  ₂ (t ) – стохастически эквивалентны. Тогда выполнимо соотношение ( 8 ).

Теорема 2. ( о существовании единственности решений)

Пусть функции  ( t, x ) ,  ( t, x ) , ( t, x )  R ₊ x R , удовлетворяют условиям теоремы 1. Предположим, что  _{t , x} ( s ) - случайный процесс, определенный при

s  t > t ₀ , который является решением уравнения:

 _{t , x} ( s ) = x +

Тогда случайный процесс  (t ) , который является решением уравнения ( 2 ) (или ( 5 ) ), является Марковским процессом, для которого вероятность перехода

P ( t , x , s, A ) = P {  ( s )  A |  ( t )  x ] = P {  _{t , x} ( s )  A }

совпадают с вероятностью  _{t , x} ( s ) .

Замечание.

1. Утверждается, что решения исходного уравнения являются Марковским

процессом .

2. Вероятности перехода  (t ) совпадают с вероятностями состояний нового

процесса  ( t , x ) при условии, что в момент t ₀ : =  ₀ = x - состояние

фиксированное.

Лекция № 14

Стандартная диффузная модель стоимости акций

S ( t ) ₁ = S ( t ) – случайный процесс, описывающий эволюцию стоимости акций.

Исторические модели были введены такие:

1. Линейная модель Л. Башелье ( 1900 г. )

S _t = S ₀ +  t +  - w _t ( 1 )

S ₀ = S (t ₀) – начальное (случайное) значение

 - параметр сноса

 - параметр изменчивости (волатильность)

R		Если не учитывать начальные условия, т.е. положить S 0 = 0, тогда  - это математическое ожидание,  2 - дисперсия и получили бы обычный винеровский процесс. Недостаток: такой процесс может принимать не только положительные, но и отрицательные значения (акция не может стоить отрицательно).

2. Модель геометрического (экономического ) броуновского движения

Идея построения

Рассмотрим приращение стоимости:

 S _t =  ( t , S _t )  t +  ( t , S _t )  w _t

Рассмотрим частный случай, когда наши коэффициенты  и  линейно зависят от состояния  ( t , S _t ) =  s _t ;  ( t , S _t ) =  S _t ,  ,  - постоянные.

Получаем:

S _t =  S _t  t +  S _t  w _t ( 1 )

=   t +   w _t ( 2 ) минимальное отношение доходности

( 2 ) – относительная доходность финансового актива.

Из ( 1 ) : d S _t = S _t (  d t +  d w _t ) ( 3 )

Введем эту модель точными понятиями, т.е. дадим строгое определение выражению ( 3 ) ( Самуэльсон, 1965 г. )

Формально пусть наш процесс выражается в следующем виде:

( 4 )

или иначе:

( 5 )

нормальное распределение

Тогда - имеет логарифмическое нормальное распределение.

Запишем ( 4 ) в виде:

Посчитаем частные производные:

По формуле ИТО:

( 6 )

Случайный процесс, который ввели удовлетворяет СДУ вида ( 6 ).

Вывод: Случайный процесс геометрического броуновского движения

удовлетворяет СДУ : ( 6 * )

Чаще всего s _t используют как модель стоимости акций. Дополнительно еще рассматривают модель банковского счета.

Модель изменения банковского счета.

случайный процесс B _t удовлетворяет: d B _t = r B _t d t ( 7 )

r > 0 – банковская учетная (процентная) ставка. Она – const., но может

быть и случайным процессом.

Пара случайных процессов ( S _{t ,} B _t ), задаваемая уравнениями ( 6 * ) и ( 7 ), называется стандартная диффузная модель ( B , S ) – рынка.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ (ТМО)

Литература: Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. «Теория массового

обслуживания «, М., Высшая школа, 1982.

( Теория восстановления (гл. 1, п.6) ).

Определение СМО. – это системы, которые выполняют однотипные элементарные операции. Такие операции называются операциями обслуживания.

Кроме того характерно наличие входящего потока заявок или требований. И входящий поток и законы обслуживания описываются вероятностными характеристиками, т.е. они носят случайный характер.

Примеры СМО.

1. Морской грузовой порт (поступление судов может отклоняться от графика, операции разгрузки и погрузки также происходят в разное время).

2. Торговая система (магазин, склад товара; - поступления носят случайный характер), покупатель приходит в случайный момент времени, обслуживание тоже носит случайный характер.

3. Вычислительный комплекс (поступление информации в сети ЭВМ происходит в случайный момент времени).

4. Административная система (чиновники принимают (обслуживают) однотипные заявки в случайный момент времени).

Основные объекты, входящие в СМО

Определение. Случайным потоком однородных событий (или требований) будет называться последовательность случайных моментов времени, в которое происходит данное событие (т.е. последовательность случайных точек на оси времени). Это – неубывающая последовательность.

Если под событием понимать поступление заявки в СМО, то такой поток называется входящим потоком требований или заявок.

Лекция № 15

{ t _n = t _n ( ) , n  1 } – входящий поток.

Определение. Рекуррентным потоком однородных событий (с ограниченным последствием) называется поток { t } такой, что  _n = t _n - t _n - ₁ , n  1 - последовательность независимых, одинаково распределенных величин.

Это связано с понятием

┬─────┬──────┬─────┬─────┬───── простого процесса

0 t ₁ t ₂ t _{n – 1} t _n восстановления

Определение. Рекуррентный поток однородных событий, для которого интервалы  _n имеют экспоненциальное распределение с параметром  , т.е.

P (  _n < x ) = 1 - ℓ ^{-  x} ,   0 , x  0

называется простейшим (пуассоновским) потоком однородных событий.

Введем величину ( случайный процесс) :

 ( t ) = sup { n : t _n  t } , t > 0 - число событий потока на ( 0, t )

(считающий случайный процесс).

Если последовательность {t n }образует простейший (пуассоновский поток), то  ( t ) – пуассоновский процесс (без анализа траекторий).

n = 1

t 1 t 2

t n – 1 t n

Т.о. распределение числа событий для пуассоновского потока совпадают с распределением числа событий для пуассоновского процесса:

 ( t + r) -  ( t ) , t  0 ( число событий в интервале [ t , t +  ) )

Пуассоновское распределение с параметром   .

Классификация систем МО. Символика Кендалла.

4 разряда

вид входящего потока

Exp вид закона

n количество

N количество мест

обслуживания обслуживающих для ожидания в

приборов и устройств очереди

1. Вид входящего потока:

M – пуассоновский

G I – рекуррентный

G – произвольный

2. Вид закона обслуживания:

распределение длительности обслуживания в каждом приборе

M – экспоненциальное

E _r – эрианговское порядка r

G – произвольное

3. Количество обслуживающих приборов : n :

1  n < 

отдельно n = 

4. Количество мест для ожидания : N :

0  N  

N = 0 { система с отказами}

N =  { система с неограниченной очередью }

	обслуживающие приборы
			Замечание. Важные технические свойства для анализа марковских СМО – это экспоненциальные свойства.
поток требований 
место в N очереди