§2.9 Волновой пакет.

Рассмотрим 2-е монохроматические волны которые распространяться вдоль оси х с разной частотой и разным волновым вектором.

В следующий момент времени вся картина сместиться вдоль оси х причём с разной скоростью будут перемещаться огибающий и наполняющий. Для определения скорости огибающей надо продифференцировать условие постоянства фаз.

Скорость наполняющей . Эти скорости могут не совпадать.

Рассмотрим большое количество монохроматических плоских волн с разной частотой и волновым вектором который растёт вдоль оси х

Пусть интервал между соседними волновыми числами тоже одинаков.

Это возможно в одном единственном случае, когда нет дисперсии, то есть фазовая скорость

Тогда волновая функция будет

Повторяя выводы §1.7 находим.

Мы получим волновую функцию амплитуда которой зависит от времени и координаты

Таким образом при сложение большого числа монохроматических волн с различной частотой мы получим волновую функцию ограниченную в пространстве. Такая волновая функция называется волновым пакетом. За протяженность волнового пакета выбирают половина расстояния между двумя ближайшими к максимуму нулями.

Протяжённость волнового пакета и интервал волновых чисел образующие его монохроматические волны связанны между собой соотношением .Следует заметить что это равенство получено при определённых условиях .

В общем случае Таким образом мы получим, что в результате сложения большого числа монохроматических волн получается ограниченна в пространстве волновая функция. Справедливо и обратное утверждение. Любой произвольный волновой пакет можно представить в виде суммы гармонических волн.

Где - дисперсионное соотношение.

Рассмотрим поведение волнового пакета в следующие моменты времени.

все складываемые волны функции сместятся вдоль оси х на одинаковом расстояние так как в отсутствие дисперсии фазовые скорости все одинаковы.

В результате сумма всех волновых функции тоже сместиться на такое же расстояние.

Скорость перемещения волнового пакета будет совпадать с фазовой скоростью волны. При этом очевидно, что форма волнового пакета изменяться не будет.

Если фазовые скорости будут различны для разных волн(есть дисперсия) то волновой пакет будет деформироваться при распределении и скорость его движения будет отлична от фазовой скорости.

§ 2.10 Групповая скорость. Метод стационарных фаз

В§ 2.9 было показано, что любую произвольную волновую функцию можно предоставить в виде суммы гармонических волн.

- фаза гармонической волны.

Заметим, что вычисления интеграла в общем виде является очень сложной задачей

Замети, что при сложение гармонических функций результат будет заметно отличаться от 0 только если фазы гармонических функций будут близкими. В остальных случаях результат будет близким к нулю, то есть условие того что полученный интеграл не равен 0 совпадает с условием одинаковых фаз складываемых волн, то есть с условием постоянства фаз для различных k

- полученный интеграл будет отличаться от 0

Другими словами

V_g- групповая скорость

V_g- скорость распространения волнового пакета.

Если фазовая скорость (Vp) не зависит от k (нет дисперсии) то групповая скорость совпадает с фазовой. В противном случае групповая скорость будет отличаться от фазовой.

Таким образом рассмотреваемый интеграл будет отличаться от 0 лишь в небольшой области K для которой фаза волны примерно одинаково.

Для того чтобы найти это значение K надо решить уравнение..

_- относительно K из которого найдём

Тогда интеграл можно записать в виде.

Любой произвольный волновой пакет можно записать в том же виде что и монохроматическую волну с той лишь разницей, что амплитуда, частота и волновой вектор зависит от координат и времени.

Для можно ввести понятие . Частот произвольной волновой функцией называется , а

В трёхмерном случае