§1.2 Затухающие колебания.

Рассмотрим систему в которой есть сила трения пропорциональная скорости. На которую действует

-коэффициент трения

Для того чтобы найти решение уравнения затухающих колебаний рассмотрим уравнение в котором х комплексная величина.

Реальная часть которых = 0

Очевидно, что реальная часть комплексного уравнения является уравнение затухающих колебаний поэтому реальная часть решения комплексного уравнения будет решением уравнения затухающих колебаний.

Будем использовать решение уравнения

- амплитуда затухающих колебаний.

-частота затухающих колебаний

-фаза колебаний

T- в течение которого фаза колебаний меняется на , называется периодом затухающих колебаний.

Время в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в Е раз, называется временем релаксации

- декремент затухания

Заметим, что полученное решение будут справедливо если действительная величина, а это возможно если . В этом случае говорят, что система находиться в «периодическом режиме», решим, если , то

где -действительная величина, тогда

(всегда)

В этом случае никаких колебаний в системе не происходит она просто стремиться к положению равновесия, в зависимости от того какие были начальные условия. В этом случае происходит апериодический режим.

Если . То режим называется критическим.

-коэффициент затухания (декремент затухания)

§ 1.3 Энергия свободных колебаний

Колебания рассмотренные в §1.2 принято называть свободными так как они происходят в системе без воздействия внешних сил. Внешние влияние происходит лишь в начальный момент времени, когда система выходит из положения равновесия.

Рассмотрим полную энергию гармонических колебаний, на примере пружинного маятника координаты которого меняться по закону , полная энергия

, где T- кинетическая энергия

V -потенциальная энергия пружины

E - постоянна и пропорциональна квадрату амплитуды.

Рассмотрим полную энергию затухающих колебаний пружинного маятника.

, при этом затухание слабое

Так как затухание слабое то можно считать, что первый сомножитель амплитуды практически не меняется за время в течение которого второй сомножитель меняется очень сильно, то есть за время одного периода колебаний.

При вычислении производной можно считать константой.

Энергия затухающих колебаний будет уменьшаться со временем точно также как квадрат амплитуды.

Добротностью осциллятора называется

Энергия запасённая осциллятором

Энергия теряемая за период

Энергия которую теряет осциллятор за единицу времени будет тогда за период осциллятор потеряет энергию тогда

Зная добротность можно оценить сколько колебаний совершит система выведенная из положения равновесия

Просто струна 10³ (добротность)

Добротность атома – 10¹² – самая высокая