§1.4 Вынужденные колебания

Анализ решения. Резонансные характеристики.

Рассмотрим систему на которую действует внешняя сила . Если это пружина маятника, то уравнение будет иметь вид:

Рассмотрим самый важный случай когда внешняя сила периодична.

Для того чтобы найти решение этого уравнения рассмотрим комплексное уравнение реальная часть которого совпадает с нашим уравнением.

Решение уравнения будем искать в виде:

, где

Таким образом найденное решение уравнения вынужденных колебаний представляет собой гармонические колебания амплитуда которых полностью определяется параметрами осциллятора и частотой -вынуждающая сила

Тоже самое касается и начальной фазы колебаний . Другими словами полученное решение независит от начальных условий, а поэтому не является общим и единственным. Это частное решение уравнения вынужденных колебаний.

Амплитуда колебаний зависит от параметров системы и частотой - вынуждающей силы. Зависимость амплитуды от называется амплитудно-частотный характеристикой системы.

Такая зависимость называется резонансной, а частота _R (при которой амплитуда максимальна) называется резонансной частотой. Если = _R то говорят, что в системе наблюдается резонанс амплитуд.

Для нахождения резонансной частоты нужно приравнять к 0, производную

Легко заметить, что достаточно приравнять к нулю производную от подкоренного выражения

Зависимость базового сдвига от частоты называется фазово-частотной характеристикой.

Рассмотрим скорость вынужденных колебаний

- амплитуда скорости.

Полученная зависимость называется резонансом скорости. Для определения частоты при которой V₀ = max надо .

Полученное решение уравнения вынужденных колебаний представляет собой гармоническое колебание. В §1.3 было показано, что энергия гармонических колебаний постоянна. В §2.4 из 1ой части курса было сказано, что полная энергия системы сохраняется, если сумма мощностей всех не потенциальных сил = 0.

В нашей системе таких сил 2: сила трения и внешняя сила. Как известно мощность силы будет :

Пусть N- мощность внешних сил

-мощность внешних сил

Очевидно, что среднее значение мощности вынуждающей силы будет:

Так как средняя мощность пропорциональна квадрату амплитуды скорости, то резонанс мощности будет происходить при той же частоте, что и резонанс скорости, то есть при ₀ , осциллятором в котором происходит вынужденные колебания принято характеризовать полимерной резонансной кривой, которая определяется на уровне половины максимальной средней мощности.

Рассмотрим систему со слабым затуханием когда , так как при уменьшение затухания ширина резонансной кривой уменьшается, тогда :

§ 1.5 Вынужденные колебания. Переходный процесс

Решение полученное в § 1.4 уравнение вынужденных колебаний не зависит от начальных условий и поэтому не является единственным и общим. Это частное решение

Для общего решения заметим, что сумма решений нашего уравнения и уравнений затухающих колебаний:

Будет являться решением уравнения вынужденных колебаний, для этого чтобы в этом убедиться:

то есть x₁+x₂ является решением уравнения вынужденных колебаний мы учли, что уравнение затухающих колебаний имеет вид:

- определяются параметрами системы

- являются произвольными и определяться из начальных условий. Поэтому полученное решение является общим и единственным при заданных начальных условиях.

Рассмотрим частный случай нулевых начальных условий.

Подставим начальные условия в решение

Будем считать точно также как в §1.3, что затухание слабое. Тогда:

Таким образом мы нашли две произвольные величины, которые удовлетворяют нулевым начальным условиям.

Рассмотрим случай, когда

Так как х(0)=0 , то знак «+» не подходит

Таким образом полученное ранение состоит из двух частей, при этом вторая часть с течением времени уменьшается и через время релаксации практически исчезает и начиная с этого времени в системе будут наблюдаться колебания формулы которых были получены в §1.4.

При это говорят в системе наблюдается установившейся или стационарный процесс. Поэтому частное решение из §1.4 часто называется стационарным решением.

Это решение от начальных условий не зависит если

То существуют обе части решения и в системе наблюдается переходный процесс. Форма этого процесса определяется начальными условиями. Рассмотрим случай, когда в системе нет затухания, при нулевых начальных условиях тогда)

Таким образом при в системе никогда не будет наблюдаться установившееся решение. Всё время переходит процесс. Колебание такого вида- биение.