Звичайні диференціальні рівняння

Завдання до лабораторної роботи. Знайти розв’язок задачі Коші для

рівняння другого порядку

; ,

на вказаному інтервалі методом Рунне–Кутта четвертого порядку з автоматичним вибором кроку інтегрування.

Методичні вказівки до виконання лабораторної роботи.

Приведемо задачу Коші для рівняння другого порядку до системи рівнянь першого порядку

; .

Згідно методу Рунне –Кутта розв’язок на ( )-му кроці визначається як

, ,

де величини , є відомими, а обчислюються як

, , (4.7)

а допоміжні функції , , визначаються наступним чином

.

.

Оскільки друге рівняння системи має спеціальний вид , то формули для обчислення можна суттєво спростити, а саме

, .

Для обчислення величин зручно використати дві процедури з заголовками виду

Procedure Runge_z(x,y,z,h:Real; Var dz:Real); (повертає величину ),

Procedure Runge_y(x,y,z,h:Real; Var dz:Real); (повертає величину ).

При цьому з процедури Runge_z викликається функція , а у процедурі Runge_y величина обчислюється безпосереднє по формулам (4.7). Величина кроку інтегрування спочатку вибирається як , де a і b – кінцеві точки інтервалу, число вузлів інтегрування(нумерація ведеться з нуля).

Для оцінки похибки застосуємо правило Рунге і робоча формула набуває вигляду

Запис означає, що обчислення функції у точці проводиться за два кроки. Позначимо

, і .

Тоді ці величини можна отримати як результат наступних викликів

Runge_y(x,y,z,h,dy); y1:=y+dy;

Runge_z(x,y,z,h,dy); z1:=z+dz;

Runge_y(x,y,z,h,dy); y2:=y+dy;

Runge_z(x,y,z,h,dy); z2:=y+dz;

Runge_y(x+0.5*h,y2,z2,h,dy); y3:=y2+dy;

Runge_z(x+0.5*h,y2,z2,h,dy); z3:=z2+dz;

Контрольні питання.

Чим визначається порядок методів Рунне?

Від чого залежить точність розв’язку ЗДР?

Який з методів є більш точним: Ейлера, Рунге, апроксимації скінченими різницями і чому?

В яких з вище наведених методів є суттєвим обмеження на лінійність рівняння?

Який з вище наведених методів потребує найменшого обсягу обчислень?

Для яких рішень метод Ейлера є точним?

Варіанти завдань до лабораторної роботи.

Варіант	Рівняння	Початкові умови і інтервал інтегрування
1		, [0;1]
2		, [1;2]
3		, [0;1]
4		, [2;3]
5		, [0;1]
6		, [0;1]
7		, [-1;0]
8		, [1;2]
9		, [1;2]
10		, [0;1]
11		, [0;1]
12		, [0;1]
13		, [0;1]
14		, [0;1]
15		, [-1;0]
16		, [0;1]
17		, [2;3]
18		, [1;2]
19		, [-1;1]
20		, [0;1]
21		, [0;2]
22		, [ ; ]
23		, [0;1]
24		, [0;1]
25		, [-1;1]