1. Центр мас системи опинився на вісі обертання;

2. Сили, які діють на складові частини системи з боку зв’язків, дорівнювали (за модулем і напрямком) доцентровим силам, що необхідні для обертання цих частин;

3. Момент інерції тіла відносно вісі обертання (яка проходить через центр мас) мав найбільше значення.

При виконанні цих умов обертання тіл буде стійким. Таким чином, серед осей, що проходять через центр мас тіла, можна виділити такі, відносно яких обертання тіла буде стійким; ці осі називають вільними осями.

На рисунках 10.12 та 10.13 подано приклади обертання різних тіл навколо вільних осей.

Гіроскопом називається тверде тіло, що швидко обертається. Вісь обертання тіла може змінювати свій напрямок у просторі. Симетричним називається гіроскоп, що має симетрію обертання відносно деякої вісі, яка називається геометричною віссю або віссю фігури гіроскопа. Ми обмежимось розглядом лише симетричних гіроскопів.

Точкою опори гіроскопа називають таку т. О вісі його фігури, відносно якої розглядають обертання гіроскопа Точка опори гіроскопа звичайно закріплена. Щоб вісь фігури гіроскопа вільно оберталась у просторі, його розміщують в кардановому підвісі. Гіроскоп в кардановому підвісі має три ступені свободи.

Якщо точка опори гіроскопа (центр карданового підвісу) співпадає з центром мас гіроскопа, то гіроскоп називають зрівноваженим.

При обертанні гіроскопа навколо вісі фігури кутова швидкість і момент імпульсу направлені вздовж вісі тіла. Поки на гіроскоп не діють ніякі сили, його вісь буде зберігати своє положення в просторі. Якщо прикласти до гіроскопа зовнішню силу то його вісь почне відхилятися, описуючи конус; цей рух називають прецесією. Зміна напрямку вісі гіроскопу – це обертання його відносно деякої іншої вісі, тому вектор сумарної кутової швидкості вже не буде направлений вздовж геометричної вісі тіла. Разом з ним вже не буде співпадати з тією ж віссю (а також і з напрямком ) і вектор моменту імпульсу . Але якщо основне обертання гіроскопу досить швидке, а зовнішня сила не дуже велика, то швидкість повороту вісі гіроскопу буде відносно мала і вектор , а з ним і будуть весь час близькі по напрямку до вісі фігури гіроскопу. Тому знаючи, як змінюється , ми будемо знати , як приблизно рухається вісь фігури гіроскопу.

Скористаємося рівнянням моментів:

,

де М – момент прикладених до тіла сил.

Нехай до кінців вісі гіроскопа (вісь Y) прикладена пара сил , що діють у площині YOZ (рис. 10.14). Момент пари направлений вздовж вісі X і в ту ж саму сторону буде направлена похідна .

Момент , а з ним і вісь гіроскопу відхиляється в бік вісі X ( перпендикулярна до вісі фігури; момент не може змінити величину , а змінює лише напрямок; таким чином, якщо , то вектор , а з ним і вісь фігури гіроскопа, повинні здійснювати рівномірне обертання навколо вісі OZ).

Рис. 10.15 ілюструє вимушену прецесію гіроскопу.

Один з видів гіроскопів – дзиґа - відомий нам з дитинства; це гіроскоп, що має одну нерухому точку. На дзиґу діє сила тяжіння , завжди направлена вниз і прикладена в центрі мас С (рис.10.16).

Момент сили відносно т. О по модулю дорівнює ( ) і направлений завжди перпендикулярно площині, яка проходить через вісь дзиґи і вертикальний напрямок. Під дією цього моменту вектор (а тим самим і вісь дзиґи) буде повертатись, залишаючись сталим по модулю та зберігаючи постійний кут θ з вертикаллю, тобто описуючи конус навколо цього напрямку.

Визначимо кутову швидкість Ω прецесії дзиґи. За нескінченно малий проміжок часу вектор отримує перпендикулярно собі приріст , що лежить в перпендикулярній площині. Поділивши його на величину проекції вектора на цю площину, отримаємо кут , на який ця проекція повернеться за час :

.

і є шукана кутова швидкість прецесії:

;

так як , а (I – момент інерції дзиґи відносно її вісі), то отримаємо:

(10.17)

Формула (10.17) одержана при умові швидкого обертання дзиґи:

<< .

Так як , то ця умова означає, що потенціальна енергія дзиґи у полі тяжіння ( ) повинна бути мала у порівнянні з її кінетичною енергією ( ).

16