4. Скочування тіл з похилої площини.

Нехай тіло, яке скочується з похилої площини, має симетрію обертання відносно геометричної вісі С. Будемо вважати, що під час руху не виникає ковзання, тобто швидкість тіла в точці А дорівнює нулю (див рис. 10.8). в цьому випадку буде силою тертя спокою . Розглянуте нами раніше рівняння моментів дійсне для випадку коли початок О чи вісь ОО′ нерухомі. Можна показати (див. Д.В.Сивухин, т. 1, §37), що якщо рухомий початок О співпадає з центром мас С (чи рухома вісь ОО′ проходить через центр мас С), то рівняння моментів відносно цього початку (цієї вісі) має таку ж форму, як і для нерухомого початку (вісі), тобто:

(10.9)

В рівнянні (10.9) – момент зовнішніх сил відносно вісі С. Оскільки моменти сил і дорівнюють нулю, то :

(10.10)

З іншого боку за теоремою про рух центра мас:

;

(10.11)

проектуємо (10.11) на вісь Ox, паралельну похилій площині і напрямлену в бік руху:

.

(10.12)

Швидкість точки С зв’язана зі швидкістю точки А співвідношенням:

, або ; так як , то

Взявши похідну по часу, отримаємо:

,

(10.13)

де - лінійне прискорення точки С.

Розв’язуючи систему рівнянь (10.10), (10.12) та (10.13), знайдемо вираз для прискорення та сили зчеплення :

(10.14)

(10.15)

Результат (10.15) можна отримати й іншим шляхом. Так як сила тертя зчеплення прикладена до точки, швидкість якої дорівнює нулю, то вона не здійснює роботи і тому можна скористатися законом збереження механічної енергії:

.

,

де h – висота. з якої скотилось тіло, точка А – миттєвий центр обертання. , де x – шлях, який пройшло тіло вздовж похилої площини. Одержуємо:

.

Диференціюємо по t:

;

(див. (10.13)).

;

Нарешті:

(10.16)

Застосувавши теорему Гюйгенса-Штейнера: , одержимо:

, що співпадає з (10.14).

Повернемось ще раз до рівняння . Замінимо через :

; (враховано, що );

Отже: .

Робота сили тяжіння йде на збільшення кінетичної енергії не тільки поступального, а й обертального руху.

Позначимо ; називають радіусом інерції тіла. Перепишемо (10.14): . r називають радіусом кочення тіла.

Радіус кочення – це відстань між центром мас тіла, що котиться, і миттєвою віссю обертання. Для циліндра чи кулі радіус кочення дорівнює геометричному радіусу цих тіл. Тіла з різним відношенням скочуються з похилої площини з різним прискоренням.

5. Гіроскопи. Вільні осі обертання.

Розглянемо обертання тіла, яке може довільно змінювати своє положення у просторі. Для прикладу візьмемо стержень, до кінців якого прикріплено кулі з однаковими масами. До середини стержня прикріплена пружна нитка, з допомогою якої стержень приводиться в обертовий рух навколо вертикальної вісі. Щоб кулі А і В рухались по колу, до них повинні бути прикладені доцентрові сили , а сили до куль можна прикласти лише вздовж зв’язків, тобто вздовж стержня. Позначимо ці сили відповідно (див рис. 10.9). Доцентрові складові цих сил дорівнюють: та . Другі складові будуть повертати систему до тих пір, поки стержень не розташується горизонтально (рис. 10.10). В цьому положенні і момент інерції має максимальне значення.

Якщо , то, оскільки модулі сил рівні ( ), в стійкому положенні системи матимемо:

, звідки:

Тіла будуть рухатись по колах різних радіусів; вісь обертання проходитиме через центр мас системи (рис. 10.11).

Отже, якщо тіло змушують обертатись (без жорсткого закріплення вісі обертання з тілом), то воно буде деформуватись і повертатись таким чином, щоб: