7. Робота і енергія. Закон збереження енергії

1. Робота і потужність, одиниці їх вимірювання.

Нехай матеріальна точка, на яку діє сила , рухається по деякій траєкторії 1-2 (рис. 7.1). Сила в загальному випадку може змінюватись як по модулю, так і за напрямком. Розглянемо елементарне переміщення , в межах якого силу можна вважати сталою.

Елементарною роботою dA сили на переміщенні називають скалярний добуток :

(7.1)

де – кут між векторами і , - проекція вектора на , .

Додаючи елементарні роботи (7.1) для всіх елементарних ділянок шляху від точки 1 до точки 2, одержимо роботу сили вздовж кривої 1-2:

(7.2)

На графіку залежності від шляху робота чисельно дорівнює площі фігури під графіком (рис. 7.2). В окремому випадку сталої сили і руху вздовж прямої з (7.2) одержимо:

(7.3)

Якщо , то, використовуючи властивість скалярного добутку, матимемо:

(7.4)

Робота результуючої декількох сил дорівнює алгебраїчній сумі робіт цих сил.

Одиницею роботи в СІ є джоуль (Дж). 1 Дж – це робота сили в 1 Н на переміщенні в 1 м при умові, що напрям сили співпадає з напрямком переміщення : 1 Дж = 1 Н·1 м.

Для прикладу обчислимо роботу сили пружності, сили гравітаційної взаємодії та сили земного тяжіння.

Нехай зовнішня сила розтягує пружину; початкова деформація пружини дорівнює , кінцева - (див. рис. 7.3). Сила пружності зв’язана з деформацією законом Гука: Знайдемо

роботу сили пружності:

Згідно з законом всесвітнього тяжіння:

.

При переміщенні м.т. m₂ з положення 1 в положення 2 (див. рис. 7.4) гравітаційна сила виконає роботу:

.

Робота від’ємна, оскільки r₂>r₁.

Для сталої сили земного тяжіння :

.

Потужністю називається фізична величина, що дорівнює роботі, яку виконує сила за одиницю часу:

(7.5)

Одиницею потужності в СІ є ват (Вт):

Підставивши в (7.5) вираз (7.1) і врахувавши, що , одержимо:

(7.6)

Знаючи потужність N, можна обчислити роботу:

(7.7)

2. Робота сили та кінетична енергія.

Нехай м.т. масою m рухається під дією сили . Обчислимо роботу цієї сили. Підставимо в (7.7) вираз (7.6):

В перетвореннях враховано, що . За означенням імпульс ; якщо , то . Під знаком інтегралу одержимо:

.

Останнє перетворення легко довести, продиференціювавши рівність

.

Остаточно одержимо:

(7.8)

Величина

(7.9)

називається кінетичною енергію м.т.

Таким чином:

(7.10)

Робота сили при переміщенні матеріальної точки дорівнює приросту кінетичної енергії цієї м.т.

Це твердження називають теоремою про кінетичну енергію.

Одержаний результат легко узагальнюється на випадок системи матеріальних точок. Кінетичною енергією системи м.т. називається сума кінетичних енергій м.т., з яких складається система. У виразі (7.10) під слід розуміти суму робіт всіх сил, як внутрішніх , так і зовнішніх. Отже:

Робота всіх сил, що діють на систему м.т., дорівнює приросту кінетичної енергії цієї системи.

Застосуємо теорему про кінетичну енергію до задачі про знаходження другої космічної швидкості. Нагадаємо, що ракета, стартувавши з поверхні Землі, повинна покинути сферу її притягання (відлетіти в нескінченність).

Зміна кінетичної енергії: (див. рис. 7.6). Робота гравітаційної сили дорівнює:

Оскільки , а , то: .

Згідно з теоремою про кінетичну енергію:

, звідки:

(7.11)

Порівняємо (7.11) з виразом для першої космічної швидкості (5.15); одержимо:

Третьою космічною швидкістю називають швидкість, яку повинна мати ракета поблизу Землі, щоб подолати притягання не тільки Землі, а й Сонця. Швидкість руху Землі навколо Сонця приблизно дорівнює , це «перша космічна швидкість» по відношенню до Сонця. Третя космічна швидкість для Землі- це друга космічна швидкість для Сонця: . Якщо ракета буде запускатись в напрямку обертання Землі, то їй досить надати швидкість плюс швидкість, необхідну для подолання сил земного притягання. Позначимо . Згідно з теоремою про кінетичну енергію:

, звідки: .

Врахувавши (7.11), одержимо:

.