5. Реактивний рух.

Розглянемо рух тiла зі змінною масою. Мається на увазі не релятивістська залежність маси тiла від швидкостi, оскільки мова йтиме про відносно повільний рух тiл, а зміна маси тiла за рахунок втрати чи поповнення ним речовини.

Один з прикладів такого руху - рух ракети. Ракета з великою швидкістю викидає речовину (гази), діючи на неї з великою силою. Речовина, що викидається, з такою ж, але протилежно направленою силою в свою чергу діє на ракету i надає їй прискорення в протилежному напрямі. Якщо зовнiшнiх сил немає, то імпульс системи "ракета - викинута речовина" не змінюється з часом.

Розглянемо загальний випадок, коли на ракету діють зовнiшнi сили. Нехай m(t) - маса ракети в довільний момент часу t , а − її швидкiсть. Імпульс ракети в цей момент часу дорівнює . Через час dt маса i швидкiсть одержать прирости i . Імпульс ракети тепер дорівнює . Імпульс газів, що утворилися за цей же час dt, дорівнює , де − маса газів, − їх швидкiсть. Приріст iмпульсу ракети дорівнює iмпульсу рiвнодiйної зовнiшнiх сил (див. (2.12)):

.

Розкриємо дужки:

.

О скільки dt − нескінченно мала величина (dt 0), то − нескінченно мала величина вищого порядку i її можна відкинути; згідно закону збереження маси. Після перетворень одержимо:

Різниця − це швидкiсть витікання газів відносно ракети; її називають швидкістю газової струмини (див.рис.2.3).

(Якщо ракету взяти за нерухому СВ то слід вважати що оточуюче середовище рухається зі швидкістю ; ).

Отже:

(2.16)

Розділимо (2.16) на dt :

(2.17)

За формою (2.17) співпадає з рівнянням другого закону Ньютона. Однак маса тут не постійна, а змінюється з часом. До зовнішньої сили додається член , який носить назву реактивної сили:

(2.18)

Якщо маса вiддiляється, то < 0 i вектор протилежний вектору ; якщо маса приєднується, то > 0 i вектор співпадає за напрямком з .

Рiвняння (2.17) i еквівалентне йому рівняння (2.16) називають рівнянням руху точки iз змінною масою або рівнянням Мещерського ( Мещерський I.В. (1859 - 1935)).

Якщо , то з (2.16) одержимо:

.

Н ехай ракета рухається в напрямку, протилежному . Спроектуємо останню рiвнiсть на вісь OY (див. рис. 2.4):

;

(2.19)

Будемо вважати, що стала; тоді розв`язування рівняння (2.19) спрощується:

(2.20)

Значення C визначимо з початкових умов (якщо , то початкова маса дорівнює ), які підставимо в (2.20):

, звідки .

Таким чином: , або . Остаточно:

(2.21)

(2.21) називають формулою Ціолковського (К.Е. Ціолковський (1857-1935)).

(Застосування (2.21) до польотів космічних ракет дає наступні значення відношень . При v_відн=1 км/c для v₁=8 км/c матимемо що нереально (потрібні кращі сорти палива). При v_відн=4 км/c (політ в одну сторону)).