Лабораторна робота №14 Статистична обробка результатів лабораторних та свердловинних ВимірюванЬ

14.1 Мета, завдання і тривалість роботи

Метою роботи є ознайомлення студентів з методикою використання математичної статистики для обробки результатів петрофізичних досліджень.

Завдання. Методами математичної статистики провести обробку наведених у табл. 14.2-14.4 даних петрофізичних властивостей гірських порід згідно варіанту, а саме: побудувати гістограму, варіаційну криву, криву накопичення частостей та встановити теоретичний закон розподілення емпіричної кривої.

Тривалість роботи - 6 годин.

14.2 Теоретичні відомості

Великі масиви числових даних, які є обов’язковим елементом геолого-геофізичних досліджень, перед проведенням геофізичної або геологічної інтерпретації як правило піддаються процедурі попередньої обробки. Дуже корисно для інтерпретатора або спеціаліста, який займається обробкою даних, провести початковий візуальний аналіз вхідної інформації. Такий аналіз часто є передумовою вірно вибраного напрямку або способів обробки геолого-геофізичних даних. Крім того, часто вміле графічне представлення вхідних даних дозволяє безпосередньо виконати змістовну інтерпретацію з отриманням нової геологічної інформації.

Існує два підходи до аналізу результатів спостережень та виділення петрофізичних відмінностей гірських порід: геолого-геоморфологічний та математично-статистичний.

У першому випадку класифікація порід, виділення вибіркових сукупностей обгрунтовані на літолого-петрофізичній характеристиці породи. Попередня обробка полягає, головним чином, в складанні каталогів даних про склад фізичних властивостей порід, планів і розрізів з нанесенням точок відбору і величини фізичного параметра.

При виділенні петрофізичних груп порід застосовується метод групування по найбільш спільним і стійким ознакам: генетичному типу, складу, текстурно-структурним особливостям, діагенезу і метаморфізму.

Об’єм вибірки n залежить від ступеню неоднорідності розрізу, задач та технічних можливостей спостережень. В загальному випадку кількість незалежних спостережень n для оцінки чисельних характеристик з заданою точністю може бути розрахована за формулою:

n=2,7×λ², (14.1)

де λ=δ/δ_т; δ – середньоквадратичне відхилення розподілу петрофізичного параметру; δ_т – потрібна точність визначення параметру_.

Виходячи з цього, для характеристики однієї петрофізичної групи гірських порід, необхідно не менше як 20-30 взірців порід. Збільшення числа досліджуваних взірців порід у виборці сприяє зростанню її точності, але не безмежно. Практично достовірною рахується вибірка, яка включає в себе 100-150 взірців.

Математико-статистична обробка даних визначення петрофізичних властивостей гірських порід полягає у виділенні петрофізичних груп порід, у визначенні статистичних характеристик фізичних властивостей, теоретичного закону розподілу і представлення їх у вигляді таблиць і гістограм. Вона також дозволяє виявити похибки в результатах визначень петрофізичних характеристик і параметрів та проводити їх контроль.

Статистична обробка матеріалів складається із двох етапів:

-попередньої обробки, головною метою якої є складання вихідної документації;

-математичної обробки, включаючи виділення петрофізичних груп, побудову кривих розподілу, обрахунок статистичних параметрів, виділення характеру зв’язку між властивостями.

Статистична обробка матеріалів петрофізичних досліджень забезпечує вирішення наступних задач:

― визначення середніх значень петрофізичних параметрів для досліджуємих груп порід і інтервалів розрізу;

― оцінку точності визначення цих значень;

― вивчення характеристики розподілу петрофізичних параметрів в середині основних типів порід, представленних в данному розрізі.

14.2.1 Побудова варіаційних кривих і гістограм. Для вияснення розподілення фізичного параметра в межах виділеної петрофізичної групи використовується варіаційний ряд, де кожному значенню параметра Х або інтервалу його змін ΔХ відповідає певна повторюваність значень параметра (частота) (табл. 14.1).

Таблиця 14.1 - Приклад складання варіаційного ряду густини гірських порід

Інтервал зміни δп, г/см3	Частота ∆N	Частость ∆N/ N , %	Накопичення частості ∑∆N/N,%
2,50-2,52	0	0	0
2,52-2,54	7	8	8
2,54-2,56	19	21	29
2,56-2,58	33	37	66
2,58-2,60	24	27	93
2,60-2.62	6	7	100
2,62-2,64	0	0	100

На основі варіаційного ряду можуть бути побудовані гістограма, варіаційна крива та крива накопичення частості (Рис.14.1, 14.2).

Для побудови гістограми по осі абсцис відкладають значення границь інтервалів, а по осі ординат - частості (Рис. 14.1).

Крива, що з'єднує середні точки ступенів гісторами, утворює варіаційну криву.

Форма варіаційної кривої або гістограми служить основним корисним критерієм для вияснення правильності виділеної петрофізичної групи.

Симетрична крива говорить про правильний вибір сукупностей, які входять у варіаційний ряд. Асиметричність визвана змішенням сукупностей, які являються неоднорідними за своїми характеристиками.

14.2.2 Характеристики статистичних сукупностей. Після уточнення виділених груп вичислюються загальні показники характеру розподілення: середньоарифметична величина , середньовагова _ВАГ, дисперсія D або стандарт St, мода або математичне очікування М, величина асиметрії А, медіана Ме, размах R, середнє абсолютне відхилення δ та інші.

Рисунок 14.1 - Приклад гістограми диференційного розподілу імовірності фактичних значень випадкової величини

Середньоарифметична величина визначається за формулою:

, (14.2)

де Х_і - фізичний параметр одиничного зразка; N – кількість зразків.

Середньовагова величина визначається за формулою:

, (14.3)

де N_і – кількість зразків в окремих групах; m -кількість груп.

Частость

X

Рисунок 14.2 - Приклад кумулятивного розподілу ймовірності фактичних значень випадкової величини

В якості показника величини відхилення окремих значень від середнього і відміни окремих значень один від одного, тобто розміру варіації параметра, служить дисперсія або стандарт (середньоквадратичне відхилення), які є розмірними параметрами, та визначаються за формулою:

, (14.4)

При зіставленні дисперсій декількох груп, які мають різні одиниці виміру, доцільно користуватись коефіцієнтом варіації:

, (14.5)

Для характеристики значень фізичного параметру, що найбільш часто зустрічаються, використовується мода (математичне очікування) М:

, (14.6)

де Х₀ – початок модального інтервалу; ΔХ – ширина інтервалу; ΔN₁ ΔN₂ ΔN₃ – частоти значень перед модального, модального і після модального інтервалів.

У випадку нормального розподілення, значення моди і середнього арифметичного співпадають. Неспівпадання моди і середнього арифметичного характеризуються мірою асиметрії А:

. (14.7)

Розрізняють ліві і праві асиметрії. Ексцес Е показує ступінь загострення або ущільнення ряду розподілення і визначається із співвідношення:

. (14.8)

Медіана М_е – варіанта, яка ділить статистичний ряд пополам, тобто - на дві рівні по числу варіант частини:

. (14.9)

Розмахом R називається різниця між найбільшим і найменшим варіантами:

R=Xmax-Xmin . (14.10)

Середнє абсолютне відхилення δ – це середня арифметична абсолютних величин відхилень окремих варіант Х_і від їх середньоарифметичної Х:

. (14.11)

14.2.3 Теоретичні криві розподілення. При обробці статистичного матеріалу вирішують питання, як для розподілення, отриманого емпірічним шляхом, підібрати теоретичну криву розподілення, яка б згладжувала вплив випадковостей, зв’язаних з недостатнім об’ємом дослідних даних.

В співвідношенні із зовнішнім виглядом полігону емпіричного розподілення вибирається теоретична крива розподілення з параметрами, при яких відповідність емпіричного і теоретичного розподілення являється найкращою.

Найбільш часто при обробці петрофізичних даних зустрічаються нормальний закон розподілення. Існують і інші закони розподілення: логарифмічно-нормальний, біноміальний, закон Пуассона, закон Максвела і інші.

Нормальний закон розподілення описується функціїю:

, (14.12)

де X_i – значення параметра; -середньоарифметичне значення параметра; St – стандарт розподілення параметра (середньоквадратичне відхилення).

Крива нормального розподілення симетрична відносно ординати, що проходить через точку М. У зв'язку з чим для нормального розподілу має місце М=Ме= .

14.2.4 Категорії узгодження емпіричного і теоретичного розподілення. Для точної оцінки відповідності емпіричного розподілення нормальному або логнормальному у практиці обробки петрофізичних даних використовуються критерії Колмогорова і Пірсона.

Критерій а.н. Колмогорова заключається в порівнянні емпіричних накопичених частот признаку з розрахованими частотами інтегральної функції нормального розподілення, що має ті ж значення середнього і стандарта. Співпадіння теоретичного і експериментального розподілення характеризується величиною λ:

, (14.13)

де D – максимальна різниця між емпіричними теоретичними частостями.

Імовірність рівняння (14.13) прямує до деякого значення Р(λ). При рівні значень р(λ) = 0,05 і відповідно λ=1,35 всі величини λ<1,35 характеризують розподілення, що відповідають нормальному або логнормальному законам.

Критерій Пірсона χ² дозволяє також перевірити гіпотезу про те, що випадкова величина підлягає закону нормального розподілу. Цей критерій використовується і для інших розподілень, в цьому і заключається його перевага. Для цього необхідно порівняти абсолютні або відносні частоти або частості емпіричного розподілення вибірки з можливим теоретичним розподіленням, відповідної генеральної сукупності. Мірою відмінності між емпіричним і прийнятим гіпотетичним розподіленням служить різниця між частотами, що спостерігаються Z_i (i=1,2,3….К) і відповідними теоретичними частотами Z_T для одного і того ж і-того інтервалу.

Таким чином, критерій Пірсона χ² характеризується сумою квадратів відхилень емпіричних частот Z_i від теоретичних Z_T , та віднесених до теоретичних частот Z_T:

, (14.14)

Для перевірки за допомогою критерію χ² гіпотези про нормальний закон розподілу в якості оцінок М і St використовують середньоарифметичне значення параметра і дисперсію D.