2.2. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків

Розглянемо узагальнення класу рівнянь першого порядку на випадок рівнянь вищих порядків.

Визначення. Диференціальне рівняння n-го порядку називається лінійним, якщо воно має вигляд:

у⁽ⁿ⁾ + a_1(t)у^(n-1) + a_2(t)у^(n-2) +.+ a_n(t) у = f(t) (5)

де а₁(t), а₂(t),..., а_n(t), f(t) - неперервні функції.

Позначимо через L(y):

L(y)= у⁽ⁿ⁾ + a_1(t)у^(n-1) + a_2(t)у^(n-2) +.+ a_n(t) у (6)

Відмітимо, що вираз такого вигляду називається лінійним диференціальним оператором n-го порядку.

З урахуванням наших позначень рівняння (5) може бути записано у вигляді

L(y)= f(t) (7)

Рівняння

L(y)= 0 (8)

називається лінійним однорідним рівнянням, відповідним рівнянню (7). У протилежність цьому рівнянню (8) (при f(x)0) називається неоднорідним. Наступне твердження зв'язує розв’язки рівнянь (7) і (8).

Теорема. Загальний розв’язок неоднорідного рівняння (6) є сума часткового розв’язку (х) цього рівняння і загального розв’язку відповідного йому однорідного рівняння (7).

Загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння:

f(t C₁, C₂,..., Cn)= C₁y_{1(t) +}C₂y_2(t) +... + C_ny_n(t).

Загальний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння

у(t)=y(х) + f(t C₁, C₂,..., C_n).

Для пошуку загального розв’язку однорідного рівняння розв’язують характеристичне рівняння:

a₀ ⁿ + а₁  ^n-1 +... + а _n-1. +а_n = 0

Тоді у(t)= С₁ exp(₁t)+ С₂ exp(₂ t) +... + С_n exp(_n t).

Якщо ^* є кратним коренем кратності т  n, то і

texp(^*t), t² exp(^*t), ..., t^mexp(^*t)

також є корені однорідного рівняння.

При отриманні комплексно-зв'язаного кореня _1,2 = .

у(t)= (С₁ cost +С₂ sint ).

Частковий розв’язок неоднорідного рівняння отримують підстановкою загального розв’язку однорідного рівняння в початкове (метод невизначених коефіцієнтів).

2.3. Поняття про різницеві рівняння

Різниця першого порядку представлена:

y_t=f(t+1)-f(t)=y_t+1 - y_t.

Різниця другого порядку представлена:

²yt⁼_yt+1 - _yt= (у_t+2 – y_t+1) - (y_t+1 – у_t) = у_t+2 – 2y_t+1 +у_t.

Різниця n – порядку представлена:

ⁿy_t=^n-1y_t+1 + ^n-1y_t

Визначення. Рівняння вигляду:

F(t, y_t y_t+1,.y_t+k)=0 (9)

де k – фіксоване число, а t - довільний момент часу y_1, y₂, ., y_n+1, y_n+k члени деякої числової послідовності, називається різницевим рівнянням k-го порядку.

Розв’язати різницеве рівняння означає знайти всі послідовності { х_е}, що задовольняють рівнянню (9). Різницеві рівняння часто використовуються в моделях економічної динаміки з дискретним часом, а також для наближеного розв’язку диференціальних рівнянь.

Визначення. Різницеве рівняння вигляду

В₀y_n + В₁y_t+1 + В_ky_t+k=K (10)

де В₀, В_1, ...,В_k - деякі функції від t, називається лінійним різницевим рівнянням k-го порядку.

При K = 0 рівняння називають однорідним.

Частковий розв’язок неоднорідного рівняння отримують підстановкою загального розв’язку однорідного рівняння в початкове. У разі, коли коефіцієнти В₀, В₁ ...,В_k є константами, методи розв’язку даного класу рівнянь багато в чому аналогічні розв’язку лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами. Покажемо це для різницевих рівнянь другого порядку:

yt ₊₂ + py_t+1 + qy_t=K (11)

Так само як і для лінійних диференціальних рівнянь, загальний розв’язок рівняння (11) визначається по формулі

y_t = у(t )+ Y(t) (12)

де у(t) - деякий частковий розв’язок рівняння (12), Y(t) - загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння (випадок K = 0). Для знаходження загального розв’язку однорідного рівняння необхідно спочатку вирішити характеристичне рівняння

² + p + q=0 (13)

Після цього можуть виникнути три варіанти.

1. Обидва корені ₁ і ₂ - дійсні і різні. Тоді загальний розв’язок знаходиться по формулі:

Y(n)=C₁ ₁^t + C₂₂^t (14)

де С₁, і С₂ - довільні константи.

2. Обидва корені дійсні і рівні (₁ =₂=), тоді

Y(n)=(C₁ + nC₂)^t (15)

3. У разі комплексно зв'язаного кореня ₁₂ = r (cos ± i sin)

Y(n)= r^t (C₁ cos t+ C₂ sin t) (16)