2. Якісна теорія диференціальних і різницевих рівнянь

Загальний вид диференціального рівняння першого порядку є

F(x,y, )=0 (1)

Якщо це рівняння можна розв’язати відносно у, тобто записати у вигляді:

=f(x,y), (2)

то говорять, що рівняння записане в нормальній формі (у формі Коші).

Загальним розв’язком диференціального рівняння першого порядку (2) у області визначення D функції f(x,y) називається функція вигляду у = (x, С), де С – довільна стала. Загальне рішення у = (x, С) визначає на площині сімейство кривих, залежне від параметра С. Ці криві називаються інтегральними.

Диференціальне рівняння має нескінченно багато рішень. Щоб з цієї множини виділити якесь конкретне рішення, необхідно вказати додаткову умову; найчастіше така умова задається у вигляді початкової умови

у (x₀) = у₀. (3)

Задача про знаходження рішень диференціального рівняння (2), що задовольняють початковій умові (3), називається задачею Коші.

Як правило, задача Коші має єдиний розв’язок. Умовою, що гарантує як існування розв’язку задачі Коші для рівняння y' = f(x,у), так і його єдиності в деякому околі початкової точки (x₀, у₀), є диференційованість функції f(x, у) в цьому околі. Проте можливі випадки, коли задача має нескінченно багато розв’язків або взагалі не має розв’язків.

Через такі точки може не проходити жодної інтегральної кривої або проходити декілька інтегральних кривих.

Точки, через які не проходить жодна інтегральна крива або проходить більше однієї інтегральної кривої, називаються особливими точками даного диференціального рівняння.

Одним із важливих окремих випадків диференціальних рівнянь із змінними, що розділяються, є так звані автономні рівняння. Це рівняння вигляду

= g(y) (4)

Такі рівняння часто зустрічаються в різних питаннях економічної динаміки. Звичайно як незалежна змінна розглядається час. Його відсутність в правій частині рівняння (4) можна трактувати як незмінність законів, по яких розвивається економічна система в даний проміжок часу.

Якщо y* - корінь рівняння g(y)= 0, то у =y*(=const) є рішенням рівняння (4). Таке рішення називається стаціонарним. Крім того, відзначимо ще одну цікаву властивість, якою володіють рішення автономного рівняння.

2.1 Проста модель рівноваги

Розглянемо просту економічну систему в стані рівноваги і опишемо рух такої системи. Диференціальне рівняння зв'язує зміни показника (хай наша система описується одним показником у(t), або просто у із швидкістю його руху y_t′_, або y′^. Вважатимемо, що швидкість зміни показника у пропорційна величині його відхилення від рівноважного значення y_e. Іншими словами, чим далі показник відхилився від рівноважного значення, тим швидше він прагне повернутися до нього. Якщо в рівнянні присутня тільки перша похідна за часом, а сам зв'язок лінійний, то це лінійне диференціальне рівняння. Хай воно має, наприклад, наступний вигляд: = k(у - y_e), де k-коефіцієнт.

У цьому рівнянні ky_e - вільний член; без нього рівняння y = ky називається однорідним і його загальний розв’язок у = сe^kt. Початкове неоднорідне рівняння має частковий розв’язок у = y_e (якщо величина х знаходиться в стані рівноваги), а загальний його розв’язок є сума будь-якого часткового розв’язку і загального розв’язку однорідного рівняння, тобто у = y_e +се^kt. Враховуючи, що при t = 0 величина у дорівнює y(0), одержуємо c=y(0)-y_e, і у(t)= y_e +(х(0) -х_e)e^kt. Якщо k< 0, то е^kt —> 0 і рівновага стійка, тобто при відхиленні величини х(t) від значення х_е вона знов прагне прийняти це значення. При k > 0 величина e^kt—> і, відповідно, у(t) прямують до нескінченності (якщо початковий стан не співпадає із станом рівноваги).

Система виходить до стану y_e, як це показано на рис l. Її поведінка при k > 0 показане на рис. 2. Поведінка динамічних систем може також описуватися, графіками рис. 3- 4.

y

y

y

y

y

y

y

y

Рисунок 1 – Монотонна збіжність Рисунок 2 – Монотонна розбіжність

y

y

y

Рисунок 3 – Коливальний рух Рисунок 4 – Система коливально сходиться до точки рівноваги