Вопросы к экзамену+ответы(шпоры). Р-РС-ЭП 2 курс, 2 семестр Рябов Н.И. / Ответы / Новая папка / 14

14. Последовательное соединение сопротивления, индуктивности и емкости. Комплексное, полное, активное и реактиивное сопротивление.

Пусть в ветви (рис. 6.8), состоящей из последовательно соединенных элементов r, L и С, т. е. в последовательном контуре или rLC-цепи, известен ток

i=Imsin(ωt+ψi).

Выясним, каковы напряжения на отдельных элементах и на входе.

На основании втор ого закона Кирхгофа ur+uL+uC=u, (6.13)

где

ur=ri=rImsin(ωt+ψi) ; (6.14)

uL=Ldi/dt=ωLImcos(ωt+ψi)=ωLImsin(ωt+ψi+π/2); (6.15)

Постоянная интегррирования в выражении для uC принята равной нулю, так как в установившемся режиме, как уже указывалось, напряжение на любом участке цепи синусоидальное.

Из полученных выражений для ur, uL, и uC видно, что напряжжение на сопротивлении совпадает по фазе с током, напряжение на индуктиввности опережает ток по фазе на угол π/2, а напряжение на емкости отстает по фазе от тока на угол π/2.

На рис. 6.9 показаны кривые мгновенных значений тока и наапряжений в случае, если амплитуда напряженния на индуктивности ωLIm больше амплитуды напряжения на емкости Im/ωС и ψi>0. Синусоида ur совпадает по фазе с синусоидой тока, а синусоиды uL, и uC сдвинуты относительно синусоиды тока на угол π/2 соответстввенно влево (опережение) и вправо (отставание). Таким образом, напряжения на индуктивности и на емкости сдвинуты относительно друг друга по фазе на угол π (находятся в противофазе).

Ординаты кривой напряжения

u=Umsin(ωt+ψu)

согласно (6.13) равны алгебраической сумме ординат кривых ur, uL, и uC. Определение напряжения u сводится к вычислению амплитууды Um и начальной

фазы ψu, которые могут быть найдены непосредственным суммированием трех синусоидальных функцийй времени ur, uL, и uC с последующими тригонометрическими преобразованиями. Однако, как указывалось, проще всего задача решается комплексным методом.

Запишем комплекссный ток и комплексные напряжения на основании выражений для их мгновенных значений:

I = Ie jψ i ; (6.17)

комплексной величины rI такой же, как и комплексного тока I, поэтому направление вектора Ur совпадает с направлением вектора I. Вектор UL (6.19) получается умножением I на jwL. Умножение тока I на действительную величину wL не изменяет аргумента, а умножение на j=еjπ/2 увеличивает аргумент на p/2. Следовательно, вектор UL повернут относительно вектора I на угол p/2 «вперед». Вектор UC (6.20) получается делением I на jwС. Деление комплексной величины на wС не изменяет аргумента, а деление на j, что равносильно умножению на -j=е-jπ/2, уменьшает аргумент на p/2. Следовательно, вектор UC повернут относительно вектора I на угол p/2 «назад».

Так как умножение и деление вектора на j приводят к повороту вектора на p/2 соответственно «вперед» и «назад», то множитель j называют оператором поворота на p/2.

Сложив векторы Ur, UL и UC, получим вектор U. Его длина определяет действующее напряжение U = U m 2 , а положение относительно координатных осей —

начальную фазу yu.

Отношение комплексного напряжения к комплексному току называется

комплексным сопротивлением:

Z=U/I=Um/Im=zejϕ=zÐj, (6.25а)

где z=U/I=Um/Im — отношение действующего или амплитудного напряжения соответственно к действующему или амплитудному току называется полным сопротивлением. Полное сопротивление равно модулю комплексного сопротивления. Аргумент комплексного сопротивления равен разности фаз напряжения и тока, т. е.

j=yu— yi. Комплексное сопротивление можно представить в виде

Z=zejϕ=zcosj+jzsinj=r+jx, (6.256)

где r=zcosj — действительная часть комплексного сопротивления, называется активным сопротивлением; x=zsinj — значение мнимой части комплексного сопротивления,

называется реактивным сопротивлением.

Очевидно, что

Из (6.23а) следует, что для последовательного контура (см. рис. 6.8) комплексное сопротивление

Z=r+jx=r+j[ωL-1/(ωС)],

причем реактивное сопротивление

x=ωL-1/(ωС)=xL-xC, (6.27)

где

xL=ωL; xC=1/(ωС)

называются соответственно индуктивным и емкостным сопротивлениями.

Из (6.15) и (6.19) видно, что индуктивное сопротивление связывает между собой амплитуды или действующие значения напряжения на индуктивности и тока:

ULm=ωLIm; xL=ωL=UL/I=ULm/Im.

Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте тока. Это объясняется тем, что напряжение на индуктивном элементе пропорционально скорости изменения тока: uL=Ldi/dt.

Емкостное сопротивление, как следует из (6.16) и (6.20), связывает между собой амплитуды или действующие значения напряжения на емкости и тока:

UCm=Im/(ωС); xC=1/(ωС)=UC/I=UCm/Im.

Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте тока. Эту зависимость от частоты легко пояснить, если считать заданным напряжение на емкостном элементе, а искомой величиной ток: i=dq/dt=CduC/dt. Ток прямо пропорционален скорости изменения напряжения на емкостном элементе, и, следовательно, емкостное сопротивление обратно

пропорционально частоте напряжения.

Напряжения на последовательно соединенных индуктивности и емкости противоположны по фазе; поэтому в (6.27) для реактивного сопротивления х сопротивления xL и xC входят с различными знаками. Напряжения на индуктивности и на емкости сдвинуты по фазе относительно напряжения на сопротивлении соответственно на π/2 и — π/2. Поэтому эти сопротивления входят в Z как r, jxL и — jxC.

Следует отметить, что индуктивное и емкостное сопротивления являются

величинами арифметическими - положительными, а реактивное сопротивление x=xL-xC - величина алгебраическая и может быть как больше, так и меньше нуля.

Для ветви, содержащей только индуктивность, реактивное сопротивление x равно индуктивному сопротивлению xL, а реактивное сопротивление x ветви, содержащей только емкость, равно емкостному сопротивлению, взятому со знаком минус, т. е. — xC.

Заметим также, что для ветвей, каждая из которых содержит только сопротивление r, только индуктивность L или только емкость С, комплексные сопротивления соответственно равны:

Zr=r; ZL=jωL; ZС =-j/(ωС).

Если ветвь содержит несколько последовательно соединенных резистивных, индуктивных и емкостных элементов, то при вычислении сопротивления и тока их можно