15. Параллельное соедине ние сопротивления, индуктивности и емкости. Комплексная, полная, активная, реактивная проводимость.
Пусть к цепи, схем а которой состоит из параллельного соединения элементов r, L и С (рис. 6.12), приложено напряжение u=Umsin(ωt+ψu).
Определим токи во всех ветвях. По первому закону Кирхгоф а ir+iL+iC=i,
или
Ir+IL+IC=I.
Вводя для заданного синусоидального напряжения изображающее его комплексное напряжение U = Ue jψ u , применим для каждой ветви закон Ома в коомплексной форме. В результате получим
I |
|
= |
U |
|
= |
U |
e jψ u ; |
I |
|
= |
U |
= |
U |
e j (ψ u −π 2) ; |
|||
r |
|
|
|
L |
|
|
|||||||||||
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
jωL |
|
ωL |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
I |
|
= |
|
|
U |
= jωCU = ωCUe j (ψ u +π 2) . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
C |
1 jωC |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из полученных выражений видно, что ток в сопротивлении совпадает по фазе с
напряжением, ток в индуктивности отстает по фазе от напряжения на угол π/2, а ток в емкости опережает напряжение по фазе на угол π/2. Векторная диаграмма напряжения и токов при ψu<0 и IL >IC показана на рис. 6.13.
Подставив выражения комплексных токов в уравнение первого закона Кирхгофа, найдем, что
U/r+U/(jωL)+jωСU =I
или
{1/r-j[1/(jωL)-ωС]} U=I (6.29)
От значения аргумента комплексной величины в квадратных скобках, на которую умножается комплексное напряжение, зависит разность фаз напряжжения и тока. Так как под разностью фаз понимается значение ϕ=ψu— ψi и, следовательно, ψi=ψu— ϕ, то аргумент комплексной величины в квадратных скобках следует обозначить — ϕ:
|
1 |
2 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
+ |
|
|
|
− ωC |
e− jϕ Ue jψ u |
= Ie jψi (6.30) |
|
|||
|
|
|
|
||||||||||
r |
|
ωL |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 (ωL) − ωC |
|
|
1 (ωL) − ωC |
|
|||
где − ϕ = arctg |
− |
|
|
|
|
, или |
ϕ = arctg |
|
. |
||||
|
1 r |
|
1 r |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из (6.30) следует, что
|
|
1 2 |
|
1 |
|
2 |
|
I = |
|
|
|
+ |
|
- ωC U ; ψ i = ψ u - ϕ . |
|
|
|
||||||
|
r |
ωL |
|
|
|||
На основании этих данных i=Imsin(wt+yu-j).
Комплексной проводимостью называется отношение комплексного тока к
комплексному напряжениию
Y=I/U=1/Z=1/(zejϕ)=ye-jϕ=yÐ-j, (6.31а)
где y=1/z — величина, обратная полному сопротивлению, называется полной проводимостью.
Комплексная проводимость и комплексное сопротивление взаимно обратны.
Комплексную проводимость можно представить в виде
Y= ye-jϕ=ycosj-jysinj=g-jb, (6.31б)
где g=ycosj — действительная часть комплексной проводимости, н азывается активной проводимостью; b=ysinj — значение мнимой части комплексной проводимости,
называется реактивной проводимостью;
|
|
|
|
b |
||
y = |
g 2 + b2 ; ϕ = arctg |
|||||
|
. (6.32) |
|||||
|
||||||
|
|
|
|
g |
||
Из (6.30) и (6.29) следует, что для схемы, представленной на рис. 6.12, комплексная |
||||||
проводимость |
|
|
||||
Y=1/r-j[1/(wL)-wC]=g-j(bL-bC), |
||||||
где |
|
|
|
|
||
g=1/r; |
bL=1/(wL)=11/xL; |
|
bC=wC=1/xС |
|||
и называются соответственно активной, индуктивной и емкостноой проводимостями.
Реактивная проводимость b=bL-bC. (6.33)
Индуктивная bL, и емкостная bC проводимости — арифметические величины, а реактивная проводимость b — алгебраическая величина и может быть как больше,
так и меньше нуля. Реактивная проводимость b ветви, содержащей только индуктивность, равна индуктивной проводимости bL а реактивная проводимость b ветви, содержащей только емкость, равна емкостной проводимости с обратным знаком, т. е. — bC.
Сдвиг по фазе между напряжением и током зависит от соотнношения индуктивной и емкостной проводимостей. Для схемы рис. 6.12 на рис. 6.14 представлены векторные диаграммы для трех случаев, а именно bL>bC, bL=bC и bL<bC. При поостроении этих диаграмм начальная фаза напряжения принята равной нулю, поэтому j и yi, как это следует из (6.28), равны и противоположны по знаку (yi=— j).