Вопросы к экзамену+ответы(шпоры). Р-РС-ЭП 2 курс, 2 семестр Рябов Н.И. / Ответы / Новая папка / 47

47. Уравнения Максвелла и теорема Умова - Пойнтинга в комплексной форме.

Первое уравнение Максвелла:

Рис. 21. К определению вихрей переменного магнитного поля: а) контур l охватывает проводники с током,

б) контур l охватывает переменное электрическое поле.

Физический смысл первого уравнения Максвелла: магнитное поле порождается не только током проводимоссти, но и изменением во времени связанных зарядов – током смещения.

Интегрируя первое уравнение Максвелла (1.68) по произвольной поверхности S, получим:

интеграл в левой части преобразуем по теореме Стокса в циркуляцию вектора H по контуру l поверхности S, а интегралы в правой части есть полный ток проводимости и полный ток смещения, соответственно. Исходя из этого, получаем закон полного тока:

являющийся обобщением равенства (1.47), где:

N = ∫ε EdS -

S

- поток вектора электрической индукции.

Второе уравнение Максвелла:

Рис. 22. К определению вихрей переменного электрического поля.

Меняющееся во врремени магнитное поле вызывает (независимо от параметров среды) электрическое поле и при том такое, что для всякого произвольно выбранного контура циркуляция вектора напряжённости этого поля равна взятой с обратным знаком скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром.

Уравнение источников электрического поля:

divε E = ρ ,

интегрируя по объёму и меняя знак, получим:

где вектор Пойнтинга:

Π = E × H .

Рис. 23. Взаимная ориенттация векторов напряжённости электрического поля, напряжённости магнитного поля и вектора Пойнтинга.

Энергия электромагнитного поля в каждой точке движется по нормали к плоскости

векторов E и H в сторо ну поступательного перемещения правого винта, вращаемого от

вектора E к вектору H на наименьший угол. Количество энергии, протекающей через единичный участок этой плоскости в единицу времени:

Π = EH sin(E, H ) .

Рис. 24. Возможные направления вектора Пойнтинга при убывании энергии в объёме V.

Рис. 25. Возможные направления вектора Пойнтинга при увеличении энергии в объёме V.

В проводнике с током (рис. 25) вектор напряжённости магниитного поля к его поверхности, вектор напряжённости электрического поля E имеет нормальную En и

тангенциальную Etg составляющие, причём последняя направлена так же, как ток. Поэтому вектор Пойнтинга у поверхности имеет вид:

Π = E × H = Π1 + Π2 = (En × H ) + (Etg × H ) .

Первое слагаемое вектора Пойнтинга Π1 = (En × H ) направлено вдоль проводника и определяет энергию переносимую вдоль проводника. Второе слагаемое Π2 = (Etg × H )

направлено вглубь проводника, на постоянном токе это энергия, переходящая в тепло. Т.о. энергия, переносимая вдоль проводника определяется нормальной составляющей вектора напряжённости электрического поля E , а энергия, входящая в проводник (потери)

определяется тангенциальной составляющей.

Рис. 26. Поле на поверхности проводника с током.

Рис. 27. Движение энергии внутри проводника с током.

Рассчитаем поток энергии, входящей в проводник на участке длиной l. Проводник имеет форму цилиндра с радиусом a и по нему течёт ток I. На рис. 27. показано направление векторов Etg , H , P2 у поверхности проводника. Т.к. Etg и H пеерпендикулярны друг к

другу, касательны к поверхности проводника и одинаковы во всех точках проводящей поверхности, то поток мощности внутрь проводника равен:

Поток электромагнитной энергии равен количеству тепла, выделенному по закону Джоуля – Ленца.

Передача энергии вдоль линии постоянного тока. На рис. 28 а) схема линии, на рис. 28 б) силовые линии поля в поперечном сечении. Если сопротивление линии равно нулю, у поверхности проводов вектор напряжённости электрического поля имеет только нормальную составляющую. У потребителя R основной составляющей напряжённости электрического

поля является тангенциальная. Направление векторов E и H вблизи верхнего и нижнего проводов таково, что в обоих случаях вектор Пойнтинга направлен от источника к потребителю.

Рис. 28. Движение энергии вдоль линии постоянного тока. а) схема линии, б) силовые линии поля в поперечном сечении.

Энергия течёт к нагрузке в диэлектрике, окружающей провода, энергия вошедшая в провод (если его сопротивление ненулевое), целиком превращается в тепло. Т.о. провода являются направляющими для передачи энергии в диэлектрике.

Уравнения Максвелла и теорема Умова – Пойнтинга в комплексной форме.

Черта над буквой означает вектор, подчёркивание буквы – комплексное изображение синусоидальной величины, нижний индекс m – амплитудное значение.