47. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Абсолютная и условная сходимость рядов.

Определение. Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны:

, где .

Теорема (признак Лейбница). Если в знакочередующемся ряде выполняются два условия: 1) члены ряда убывают по абсолютной величине . 2) предел общего члена равен нулю , то ряд сходится, и модуль суммы этого ряда не превосходит модуля первого члена.

Доказательство:

Рассмотрим частичные суммы с четными номерами: разности во всех скобках неотрицательны, поэтому – возрастающая последовательность. С другой стороны, поэтому , т.к. все разности в скобках неотрицательны. Ограниченная возрастающая последовательность имеет конечный предел, т.е. причем

Рассмотрим предел последовательности частичных сумм с нечетными номерами:

т.е. и частичные суммы с нечетными номерами имеют тот же предел, т.е. ряд сходится, а т.к. и их предел не превосходит по абсолютной величине модуля первого члена ряда.

Следствие. Погрешность при приближенном вычислении суммы сходящегося знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям признака Лейбница, по абсолютной величине не превышает абсолютной величины первого отброшенного члена.

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Применим признак Лейбница.

1. Члены ряда по абсолютной величине убывают: .

2. .

Следовательно, ряд сходится.

Знакопеременные ряды

Определение. Под знакопеременным рядом понимается ряд, в котором любой член может быть как положительным, так и отрицательным.

Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда). Если ряд, составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряда сходится, то сходится и исходный ряд.

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин его членов, сходится.

Определение. Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Пример. Исследовать на абсолютную сходимость ряд .

Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда: . Применим признак Даламбера: , , , т.е. ряд, составленный из модулей членов исходного ряда, сходится.

Следовательно, знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

48. Условия разложения функций в степенной ряд. Ряд Маклорена. Разложение в ряд Маклорена функции у=е^x (вывод). Интервал сходимости полученного ряда

Определение. Ряды, членами которых являются функции, называются функциональными, в частности, если членами ряда являются степенные функции, то такие ряды называются степенными: (14.1)

где числа - коэффициенты ряда.

Определение. Совокупность тех значений , при которых степенной ряд (14.1) сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Пример. Найти область сходимости степенного ряда . Решение. Этот ряд можно рассматривать как геометрический ряд со знаменателем , который сходится при . Откуда область сходимости есть интервал .

Теорема Абеля. 1) Если степенной ряд сходится при значении (отличном от нуля), то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях таких, что . 2) Если степенной ряд расходится при , то он расходится при значениях таких, что .

Следствие. Из теоремы Абеля следует, что существует такое число , что при ряд сходится, а при - расходится.

Число получило название радиуса сходимости, а интервал - интервал сходимости степенного ряда (рис. 14.1). На концах отрезка ряд может как сходиться, так и расходиться.

Пример. Найти радиус сходимости степенного ряда (14.1), если все коэффициенты (по крайней мере с некоторого номера отличны от нуля).

Решение. По признаку Даламбера ряд сходится, если будет меньше 1. Т.е. или . Если этот предел существует, то он и является радиусом сходимости . (14.2)

Пример. Найти область сходимости степенного ряда: . Решение. Радиус сходимости определяется по формуле (14.2) , т.е. область сходимости .