3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления. Обратная матрица

Для каждого числа существует обратное число такое, что произведение . Для квадратных матриц тоже вводится аналогичное понятие.

Определение. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:

.

Только квадратная матрица может иметь обратную, однако не каждая квадратная матрица имеет обратную.

Определение. Матрица является невырожденной (неособенной), если , в противном случае при матрица называется вырожденной (особенной).

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица является невырожденной (неособенной) и вычисляется по формуле

,

где - присоединенная матрица, состоящая из алгебраических дополнений элементов транспонированной матрицы, т.е. .

Необходимость. Пусть матрица имеет обратную , т.е. . По свойству 10 определителей имеем: , т.е. и .

Достаточность. Пусть . Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка , называемую присоединенной, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов матрицы , транспонированной к . Тогда элементы произведения матриц определяются по правилу умножения матриц. Поэтому матрица В является диагональной, элементы ее главной диагонали равны определителю исходной матрицы. А произведение на равно той же матрице В: .

Единственность обратной матрицы. Предположим, что существуют еще матрицы и такие, что и , где матрица получена по формуле и выполняются равенства и . Тогда, умножая на слева первое из них, получаем: , откуда , т.е. . Аналогично, умножая второе равенство на справа, получаем . Единственность доказана.

Алгоритм вычисления обратной матрицы.

1. Находим определитель исходной матрицы. Если , то матрица - вырожденная и обратной матрицы не существует. Если , то матрица невырожденная и обратная матрица существует.

2. Находим матрицу , транспонированную к .

3. Находим алгебраические дополнения элементов и составляем из них присоединенную матрицу .

4. Составляем обратную матрицу по формуле .

5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения: .

Пример. Найти матрицу, обратную данной: .

Р е ш е н и е.

1) Определитель матрицы

.

2) Находим алгебраические дополнения элементов матрицы и составляем из них присоединенную матрицу :

.

3. Вычисляем обратную матрицу:

,

4. Проверяем:

.

4. Понятие минора k-го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример. Ранг матрицы. Линейная независимость строк матрицы

Для решения и исследования ряда математических и прикладных задач важное значение имеет понятие ранга матрицы.

В матрице размером вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы -го порядка, где . Определители таких подматриц называются минорами -го порядка матрицы .

Например, из матриц можно получить подматрицы 1, 2 и 3-го порядка.

Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначение: или .

Из определения следует:

1) Ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. .

2) тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. .

3) Для квадратной матрицы n-го порядка тогда и только тогда, когда матрица - невырожденная.

Поскольку непосредственный перебор всех возможных миноров матрицы , начиная с наибольшего размера, затруднителен (трудоемок), то пользуются элементарными преобразованиями матрицы, сохраняющими ранг матрицы.