42. Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка (разрешенные относительно производной, с разделяющимися переменными) и их решение. Примеры.
Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входит неизвестная функция, независимая переменная и производная функции
.
(12.3)
Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений 1-го порядка.
Неполные дифференциальные уравнения 1-порядка.
Дифференциальное уравнение 1-го порядка (12.3) называется неполным, если оно не содержит в явном виде искомой функции или независимой переменной :
1.
(не содержит
) (12.4.1)
Решение:
,
,
откуда
.
2.
(не содержит
) (12.4.2)
Решение:
Удобно искать в виде
.
т.к.
,
то ур-е можно записать:
,
откуда
.
Пример. а)
.
б)
,
.
Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.
Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде:
,
(12.5.1)
или в виде
.
(12.5.2)
где
- некоторые функции переменной
;
- функции переменной
.
Для нахождения решения (12.5.1) и (12.5.2) преобразовывают таким образом, чтобы функции, зависящие от и были в одной части равенства, а функции, зависящие от и в другой. Затем интегрируем обе части равенства.
(12.5.1) Решение:
|
(12.4.2) |
или
Пример.
Решить уравнение
.
Решение.
Разделяя переменные, имеем
.
Проинтегрируем левую и правую часть
равенства
.
Далее имеем
.
,
Окончательно имеем
.
Уравнения вида
,
где
и
- некоторые числа, приводятся к уравниваниям
с разделяющимися переменными заменой
(или
,
где
- некоторое число).
Пример.
Решить уравнение
.
Решение:
Пусть
,
тогда
,
откуда
,
или
.
Выразим
:
,
и
.
Интегрируем:
, или
,
следовательно
.
Возвращаемся к
первоначальным переменным:
или
,
где
.
43. Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и их решения. Примеры. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде
,
(12.6)
где
- некоторая функция от
(одной переменной).
Понятие однородного
дифференциального уравнения тесно
связано с однородными функциями. Функция
называется однородной
степени
(по переменным
и
),
если для произвольного числа
выполняется равенство:
.
Пример.
Выяснить является ли однородной функция:
.
Решение.
Т.к.
,
то данная функция однородная степени
2.
Однородные
дифференциальные решаются
с помощью подстановки
,
которая приводит уравнение (12.6) к
уравнению с разделяющимися переменными.
Решение:
Пусть
,
тогда
,
откуда получим:
Пример.
Решить уравнение
.
Решение.
Замена:
,
.
- уравнение с
разделяющимися переменными.
Разделим переменные
и выполним почленное интегрирование
.
,
- общее решение.