23. Основные правила дифференцирования функций одной переменной (одно из этих правил доказать).
Производная функции м.б. найдена по схеме:
Дадим аргументу приращение и найдем наращение значений функции .
Находим приращение функции
.Составляем отношение
.Находим предел этого отношения при , т.е.
(если этот предел существует).
Основные правила дифференцирования
Производная постоянной равна нулю, т.е. .
□ Д о к а з а т е л ь с т в о.
При любых
и
имеем
и
.
Отсюда при любом
отношение
и,
следовательно,
■
Производная аргумента равна единице, т.е. .
□ Д о к а з а т е л ь с т в о.
Рассмотрим функцию
. При
любых
и
имеем
и
.
Отсюда при любом
отношение
и,
следовательно,
■
Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.Е.
.
4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е.
.
□ Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть и - дифференцируемые функции. Найдем производную функции по схеме:
Дадим аргументу приращение . Тогда функции и получат наращенные значения и , а функция - значение .
Найдем приращение функции:
.Составим отношение , которое представим в виде:
.Найдем предел этого отношения при , используя теоремы о пределах:
На основании определения производной получили, что:
или
.
■
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
.
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например:
.
5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле
(при условии, что
).
□ Д о к а з а т е л ь с т в о.
1) Дадим аргументу х приращение . Тогда функции и получат наращенные значения и , а функция - значение .
2) Найдем приращение
функции:
3) Составим отношение
,
которое представим в виде:
4) Найдем предел
этого отношения при
,
используя теоремы о пределах:
■
24. Формулы производных основных элементарных функций (одну из формул вывести). Производная сложной функции. Производные основных элементарных функций (таблица производных)
Производная логарифмической функции.
А) . Воспользуемся схемой нахождения производных:
1) Дадим аргументу приращение и найдем наращение значений функции .
2) Находим приращение
функции
.
3) Составляем
отношение
.
4) Находим предел
этого отношения при
, т.е.
.
Обозначив
,
найдем
и
.
В силу непрерывности логарифмической функции, используя 3 свойство функций непрерывных в точке. (Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке - ), меняем местами символы предела и логарифма, а затем используем определение числа ; получим:
.
Итак,
и
.
Б)
.
Найдем
,
т.е.
и
.
Производная показательной функции.
А) - прологарифмируем обе части равенства по основанию : . Дифференцируем или , откуда , т.е.
и .
Б) . . Итак,
и
Производная степенной функции.
, для любого . Прологарифмируем обе части равенства . Дифференцируем: , откуда , т.е:
и
Производная степенно-показательной функции.
. . Дифференцируем: .
Производная тригонометрических функций.
и
и
и
и